Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика Сам раб 140400 140100

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

2.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

V ( ) Im S( ) f (t) sin tdt,

который называют синус-преобразованием Фурье.

Обратные преобразования задаются следующими соотношениями:


f (t) U ( ) cos td ;	f (t) V ( ) sin td .
0	0

ЗАДАЧИ

1.Для заданной функции найдите спектральную плотность S( ) , амплитудный

спектр S( ) , фазовый спектр ( ) arctg V ( ) . Постройте графики

U ( )

амплитудного и фазового спектров

		t


0	T


2) f (t) exp(		t	) ,	3) f (t)		1

					t 4	1 ,
					t 4	1 ,
	4) f (t) (t)				5) cos( 0t) ,

Ответы:

1. 2. S( )		E	sin L i(cos L 1)
1. 2. S( )		2	sin L i(cos L 1)
		2
2. S( )	1				S( )	1
				3.			exp		sin
	2	2		3.			exp		sin
	2	2				2		2		2	4

2.Восстановите функцию по заданному спектру:

Для данной задачи определите время перехода f (t) через нуль как функцию ширины спектра. Определите предельный процесс при условии 0 .

2). S( )	Ab	,	A 0,	b 0
	( 2 b 2 )

Преобразования Лапласа.

Оригинал и изображения по Лапласу.

Преобразованием Лапласа для функции f (t) называется функция

F( p) f (t)e pt dt L f (t) ,

где p i - комплексная переменная. Функция f (t) является комплексной функцией действительного аргумента и называется функциейоригиналом. Эта функция обладает следующими свойствами:

1)f (t) 0 для всех t 0 ;

2)f (t) интегрируема на любом конечном интервале;

3) f (t) возрастает не

быстрее

некоторой

показательной функции, то есть

существуют такие

M 0

0 ,

что

для

всех

t справедливо

| f (t)| M exp( 0t) .

Число 0 называют показателем

роста

функции

f (t) . При

этих условиях

несобственный интеграл сходится абсолютно:

f (t)e pt dt

Формула обращения

Пусть справедливо соотношение:

f (t) F( p)

Если функция-оригинал f (t) непрерывна в точке

t и имеет в этой точке

непрерывные конечные производные, то

F( p)e pt dp.

f (t) = 2 i

Таким образом, по известному изображению F ( p) оригинал f (t) может быть

восстановлен путем вычисления интеграла обращения. Интеграл обращения может быть вычислен с применением теории вычетов. Поэтому при нахождении оригиналов обычно используют теоремы разложения, которые следуют непосредственно из формулы обращения.

Первая теорема разложения.
Пусть изображение Лапласа F ( p)	является функцией, аналитической в
окрестности p , и разложение в ряд Лорана в окрестности					p имеет
вид:

F( p)		Ck	.
F( p)		k	.
	k 1 p
					Ck
Тогда оригиналом является функция	f (t) (t) , где			f (t)	Ck		t k 1 .
Тогда оригиналом является функция	f (t) (t) , где			f (t)	(k	1)!	t k 1 .
				k 1	(k	1)!

Пример 1. Найти функцию-оригинал для функции-изображения:

F( p) e p 1.

Восстановим оригинал f (t) (t) . Для этого разложим функциюизображение в ряд Лорана:


			F ( p) 1				1				1				1		...	( 1)k		... 1
			F ( p) 1					p		2! p2				3! p3			...	k ! pk		... 1
								p		2! p2				3! p3				k ! pk
						1			1						1		...	( 1) k			...
						p			2! p2				3! p3				...	k ! pk			...
						p			2! p2				3! p3					k ! pk
			( 1)	k							(	1)			k				t			t	2
	C		( 1)		, f (t)						(	1)				t k 1 1			t			t		...
Отсюда	C	k	k !		, f (t)						k !(k 1)!					t k 1 1								...
Отсюда		k							k 1									2			12
									k 1									2			12

Сопоставляя это разложение с формулой Маклорена:

f (t)		f (0) f	(0)t	f (0)	t	2 ...
f (t)		f (0) f	(0)t	2!	t	2 ...	,
							,

получаем начальное	значение функции f (0) 1,					начальную скорость
изменения функции f		1/ 2 .
изменения функции f	(0)	1/ 2 .

Вторая теорема разложения

Пусть изображение Лапласа F ( p) является правильной дробью:

F( p) Pn ( p) ; n m.

Qm ( p)

Тогда оригиналом является функция f (t) (t) , где

f (t) res F( pk )e pk t .

k 1

Сумма вычетов берется по всем особым точкам, лежащим в конечной части комплексной плоскости.

Если изображение F ( p) является неправильной дробью, то необходимо выделить целую часть и при нахождении оригинала использовать свойство линейности.

p 3

Пример 2. F( p) p2 4 p 13 .

Так как дробь правильная, сразу находим особые точки: p 2 3i , которые являются простыми полюсами. Сумму вычетов в комплексно сопряженных точках удобно находить по формуле:

res F ( p)e p t p i	+ res F ( p)e p t p i = 2Re res F ( p)e p t p i .
	( p 3)e	pt		( p 3)e	pt
f (t) 2 Re res			2 Re res

p2 4 p 13 p 2 3i				2 p 4		p 2 3i

( 2 3i 3)e( 2 3i )t

(1 3i)e 2t (cos3t i sin 3t)

2 3i 2

( i 3)(cos3t i sin 3t)e2t

e2t cos3t

sin 3t

p2 2

Пример 3. F ( p) = p( p2 4) .

( p

2)e

( p

2)e

f (t) res

2 Re res

p( p2 4)

p 0

p 2i

( p2 2)e pt

p 0

2 Re

( p2 2)e pt

2 Re

( 4 2)e2it

p2 4

p( p 2i)

p 2i

2i(4i)

2 Re

( 4 2)e2it

( 2)e2it

2i(4i)

Re(cos2t i sin 2t)

cos2t.

Пример 4. F ( p) =

p2 4

p2 4 4

(t) 2 sin 2t.

p2 4

ТАБЛИЦА: ОСНОВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ИХ СВОЙСТВА

f (t)

F ( p)

f (t)

F ( p)

(t)

t neat

( p a)n 1

(t)

f (t)

pF(P) f (0)

f (t)

F( p) pf (0) f (0)

ea t

ea t f (t)

F( p a)

p a

2 p

sin t

t sin t

( p2 2 )2

p2 2

cos t

t cos t

p2 2

( p2 2 )2

t sh t

2 p

sh t

p2 2

( p2 2 )2

ch t	p	t ch t	p2 2
	p2 2
			( p2 2 )2

e t sin t					F( p)G( p)
				f ( )g(t )
	( p )2 2			f ( )g(t )
				0

		p		f (0)g(t) f ( )g(t )d pG( p)F( p)
e t cos t	( p )2 2			f (0)g(t) f ( )g(t )d pG( p)F( p)
e t cos t	( p )2 2

			1	f (t )	e p F( p)
t			p 2		e p F( p)
t			p 2
t n			n!
		pn 1

ЗАДАЧИ

1. Найдите изображение F ( p) по оригиналу f (t) , используя определение преобразований Лапласа.



		T		t

Ответы:

F ( p)

1 e p

p 2

b a 1

2. F ( p)

e pT

2. Найдите изображение по оригиналу, используя таблицу и свойства преобразований Лапласа.

sin(2t), cos(3t), e4t , tet , t2et , sh( t), ch( t), tch2t,

sin2 t, sin4 t,

e5t sin 2t,

e 5t cos 3t,

cht cos 2t,

t 2

(sin 3t cos 2t),

sin( t), sin

(t 2),

e3(t4) (t 4),

exp(at) exp(bt)

cos at cos bt

cos a cos b d ,

e at sin t ,

(t )2 cos 2 d

et sin(t )d ,

e t sin( t ),

e t

cos( t )

4. Преобразования Лапласа: восстановите оригинал по изображению

F ( p)

Ответ : f (t)

et sin t

p 2

2 p 2

p 8

3et 2e 2t

p 2

p 1

t 1 cost sin t

p 2 ( p 2 1)

(sin t t cost)

( p2 1)2

p 2 3 p 4

2 8et

7e2t

p( p 1)( p 2)

p 2 1

t 2 et (2t 2)

p 2 ( p 1) 2

p 2 6

sin 2t

t cos 2t

( p 2 4) 2

p3 p 4

) e

(cost sin t)

p 4 5 p 2 10 p 6

p 2 3

(t) 2e t

cost 3e t sin t

p 2 2 p 2

e 3 p

sin (t 3) (t 3)

p 2 2

e 5 p

e 2 p

(t 5) (t 5) e3(t 2) (t 2)

p 2

p 3

t 2

1 t 4

exp(

p 2

)

6.Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами операторным методом

Задача Коши для линейного уравнения:

an y(n) an 1 y(n 1) ... a1 y a0 y x(t)

состоит в нахождении частного решения y(t) по заданным начальным условиям

		,			, ...........y0	n 1	(0)	n 1
y(0) y0 , y (0)	y0	,	y (0)	y0	, ...........y0		(0)	y0

Полагаем, что правая часть уравнения x(t) и искомая функция y(t) являются оригиналами. Тогда для них существует преобразование Лапласа:

x(t) X ( p), y(t) Y( p).

Применяя правило дифференцирования оригинала

K( p)

y (t) pY( p) y(0),

y (t) p2Y( p) py(0) y (0),

y (t) p3Y( p) p2 y(0) py (0) y' ' (0),

................................

и используя свойство линейности, переходим в исходном дифференциальном уравнении от оригиналов к изображениям. При этом исходное дифференциальное уравнение переходит в алгебраическое уравнение

относительно Y ( p) :

an ( pnY( p) pn 1 y0 ... y0(n 1) ) ... a0Y( p) X ( p).

Тогда

Y( p)(an pn an 1 pn 1 ... a0 ) X ( p) M( p),

Y( p) K( p) X ( p) M( p);

K( p) an pn an 1 pn 1 ...a1 p a0 ;

Y( p) X ( p) M ( p) .

B этом выражении стоящий в знаменателе многочлен K ( p) называется

характеристическим многочленом, а функция K ( p) выражает влияние

начальных условий.

Решение исходного дифференциального уравнения получаем, возвращаясь к оригиналам Y ( p) y(t) .

Пример 5. Найти частное решение уравнения

y 2y 5y 3, y(o) 1; y (0) 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.2016493.17 Кб24МАТЕМ. обработка.pdf
#
10.05.2015357.84 Кб26МАТЕМАТИКА для контрол 9, 10 2009.pdf
#
10.05.2015695.77 Кб50Математика для инженеров.pdf
#
10.05.2015298.16 Кб15математика контр раб №2.pdf
#
10.05.20151.05 Mб21Математика МУ к КР ЗФО 24.04.pdf
#
10.05.20152.69 Mб5Математика Сам раб 140400 140100.pdf
#
10.05.2015403.1 Кб4математика.pdf
#
16.03.2016429.54 Кб6Математика.pdf
#
16.03.2016830.37 Кб3Математика.pdf
#
23.11.20191.69 Mб16Математическая обработка геодезических измерени...doc
#
26.08.2019219.14 Кб0Материал для контрольной работы (теория).doc