Математика Сам раб 140400 140100

21

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с

постоянными коэффициентами.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

порядка n с постоянными коэффициентами

y(n) an 1 y(n 1) an 2 y(n 2) a1 y a0 y 0

находят как линейную комбинацию фундаментальных (линейно

независимых или базисных) решений y1 (x), y2 (x), yn (x) : y00 C1 y1 (x) C2 y2 (x) Cn yn (x) .

Базисные решения определяются корнями характеристического уравнения,

которое получается из исходного уравнения заменой производных y( k ) на k :

(n) an 1 n 1 an 2 n 2 a1 a0 0.

Каждому действительному корню кратности r в общем решении

соответствует решение:

(C0 C1x C2 x2 Cr 1xr 1 ) e x ;

Согласно этому правилу решения однородных уравнений 2-го порядка

записываются следующим образом:

22

Если корни характеристического уравнения 2 a1 a0 0 действительные и различные 1 2 , то y00 C1e 1 x C2 e 2 x ;

Если корни характеристического уравнения 2 a1 a0 0 действительные и одинаковые (кратность к 2) 1 2 0 , то

y00 ( C0 C1x) e 0 x ;

Если корни характеристического уравнения 2 a1 a0 0 комплексные 1,2 i , то y00 e x (C1 cos x C2 sin x) .

Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения

с постоянными коэффициентами

y(n) an 1 y(n 1) an 2 y(n 2) a1 y a0 y f (x)

находят как сумму y(x) y00 (x) y(x) , где y(x) - любое частное

решение исходного неоднородного уравнения, y00 - общее решение соответствующего однородного уравнения. При этом частное

решение y(x) определяется правой частью уравнения f (x) и может быть

найдено методом вариации произвольной постоянной или методом подбора по

правой части специального вида

f (x) an xn an 1xn 1 an 2 xn 2 a1x a0 e( i ) x .

Если число i является корнем характеристического уравнения

(прочитайте в пояснениях к РГР 14, что такое мнимая единица, комплексное число, формула Эйлера), соответствующего данному неоднородному уравнению,

кратности r , то частное решение подбирается в виде:

23

y xr bn xn bn 1 xn 1 b1 x b0 e( i ) x .

При этом рассматриваются частные случаи:

решение подбирается в виде многочлена той же степени, но с произвольными коэффициентами

y bn xn bn 1xn 1 b1x b0 xr ,

где r - кратность корня i 0 характеристического уравнения;

Правая часть – многочлен, умноженный на экспоненту с действительным показателем

f (x) (an xn an 1xn 1 a1x a0 ) e x ,

то и частное решение подбирают в виде экспоненты, умноженной на

многочлен той же степени:

y e x bn xn bn 1xn 1 b1x b0 xr ,

где r - кратность корня i характеристического уравнения;

Правая часть-многочлен, умноженный на тригонометрическую функцию

1)f (x) (an xn an 1xn 1 a1x a0 ) соs x

2)f (x) (an xn an 1xn 1 a1x a0 ) sin x

где r - кратность корня i i характеристического

уравнения. При этом в первом случае y Re z , а во втором случае

y Im z .

24

Замечание. Также в случае, когда правая часть уравнения имеет вид

и, i не являются корнями характеристического уравнения, частное

решение в этом случае может быть подобрано в виде

, где max( k, m) .

В том случае i являются корнями характеристического уравнения кратности r , частное решение в этом случае может быть подобрано в виде

ЗАДАЧИ

1) Для заданных дифференциальных уравнений выписать характеристические уравнения и базисные решения (фундаментальную систему решений),

записать общее решение однородного уравнения, 2) для неоднородных уравнений найти частное решение методом неопределенных коэффициентов

(комплексных амплитуд), записать решение неоднородного уравнения, 3) при заданных начальных условиях найдите частное решение.

4) y 4 y 5y 0, 5) y 4 y e2 x , 6) y 2 y y x2 1

27

10.Дано дифференциальное уравнение . Тогда его решением является функция…

12.Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

13.Решением уравнения первого порядка является функция …

14.Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

15.Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

16.Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

17.Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

18.Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

19.Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

20.Однородному дифференциальному уравнению второго порядка соответствует характеристическое уравнение …

21.Дано линейное однородное дифференциальное уравнение , тогда его общее решение имеет вид…

28

22.Дано дифференциальное уравнение . Общим видом частного решения данного уравнения является …

23.Методы приближенного решения дифференциальных уравнений.

Самостоятельная работа РГР № 14 (0,600 ЗЕ)

Функции комплексной переменной

Срок выполнения 9- 13 недели

Содержание работы

1.Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи. Действия с комплексными числами

2.Функции комплексной переменной. Аналитические функции

3.Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычисление контурных и несобственных интегралов при помощи вычетов.

4.Ряды и преобразования Фурье.

5.Преобразования Лапласа.

6.Решение линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений операторным методом.

7.Решение линейных дифференциальных уравнений методом свертки (формулы Дюамеля, Грина).

Литература [2, 3, 4, 11,16, 19]

1. Комплексные числа

На множестве действительных чисел не существует такого числа, которое

являлось бы корнем простейшего алгебраического уравнения х2 1 0 (поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен). Поэтому возникла потребность расширить множество действительных чисел таким образом, чтобы новое множество содержало корни всех алгебраических уравнений. Введение комплексных чисел позволяет достигнуть этой цели. Прежде всего введем новый символ – i , который называют мнимой

единицей таким образом, что i2 1. Тогда корни уравнения x2 1 0

29

запишутся как x 1 i .

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Комплексное число в алгебраической форме записывается как

z x iy .

упорядоченная пара действительных чисел х; у . Если y 0 , то комплексное

комплексной плоскостью (рис. 1)