114
ТЕМА 6. ЛИНЕЙНО–УГЛОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
6.1.1. Виды измерений. Классификация погрешностей
Измерением называется процесс, при котором физическая величина объекта определяется опытным путем. Если искомое значение находится в результате экспериментальных данных, − такие измерения называют прямыми. Однако в ряде случаев непосредственно искомую величину определить не удается и для её определения приходится измерять другие величины, связанные с первой функциональной зависимостью, такие измерения называются косвенными. Например, проекцию D линии, измеренной на наклонной поверхности земли, непосредственно измерить практически невозможно. В этом случае измеряют расстояние S и угол наклона ν, а затем считают горизонтальное проложение: D = S cos ν.
Любые измерения сопровождаются погрешностями. Погрешности подразделяются на грубые, систематические и случайные, а также истинные и вероятнейшие.
Грубые погрешности в теории погрешностей не рассматриваются. Их исключают методикой измерений. Систематическая погрешность – это часть погрешности измерений, сохраняющаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях. Систематическая часть поддается учету и исключению (или ослаблению). Случайной погрешностью называется погрешность, которая меняет свой знак и величину по закону случайных чисел при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности обладают следующими свойствами.
1.Случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать определенного предела.
2.Положительные и отрицательные случайные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются одинаково часто в большом ряду измерений.
3.Среднее арифметическое значение случайных погрешностей при
неограниченном возрастании числа измерений стремится к ну-
лю: lim 0 n 0 n
4. Малые по абсолютной величине случайные погрешности встречаются чаще, чем большие.
Эти свойства соответствуют нормальному закону распределения –
закону Гаусса, представленного на рисунке:
115
Кривая нормального распределения
Истинные погрешности – это отклонение измеренных значений величины от истинного значения этой величины:
i = li – x ,
где i – истинная погрешность; li – результат измерений; x – истинное значение (точное значение) измеряемой величины.
Часто до начала измерений истинное значение измеряемой величины неизвестно. В этом случае вместо истинной величины принимают значение арифметического среднего х .
Отклонение vi измеряемой величины от арифметического среднего носит название вероятнейшей погрешности: vi = li - х ,
где x l1 l2 ... li ... ln . Вероятнейшие погрешности могут носить n
также случайный и систематический характер.
В геодезии часто определяют невязку – разность между сумой измеренных величин и теоретическим значением этой суммы. Невязки бывают угловые, линейные, в превышениях. Они могут мыть положительными и отрицательными. Так, если в четырехугольнике измерены все внутренние углы, то их сумма должна составить 360 00Æ. В результате измерений же получили величину 359 58Æ, тогда невязка составит:
359 58Æ–360 00Æ= – 0 02Æ.
Знак невязки очень важен, т.к. поправки в измеренные величины вводят с противоположным невязке знаком.
Критерием качества выполненных измерений служат:
–средняя квадратическая погрешность измеряемой величины – m;
–предельная погрешность измерений − m = 2m для практических целей и m = 3m для теоретических исследований;
–относительная погрешность mотн m .
x |
1 |
|
|
Относительная погрешность часто встречается в виде mотн |
. |
||
x |
m
116
Среднюю квадратическую погрешность измеряемой величины х вы-
числяют по формуле m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
|
Среднюю квадратическую погрешность одного из n измерений при |
|||||||||||||
определении арифметической средины |
|
вычисляют по формуле Бесселя |
||||||||||||
х |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Среднюю квадратическую погрешность арифметического среднего из |
|||||||||||||
n измерений находят по формуле |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
. |
||||||||||||
|
n n 1 |
|||||||||||||
Если нас интересует погрешность суммы u = х + у или разности u = х – у двух измеряемых величин, то её можно вычислить по формуле:
mu 
mx 2 my2 .
Для произведения u двух измеряемых величин x, y средняя квадратическая погрешность вычисляется по формуле
mu 
my x 2 mx y 2 .
По этой же формуле оценивают точность частного u x .
y
Если необходимо в ряду полученных погрешностей измерений определить наличие систематической погрешности, то поступают следующим
n
образом. Находят v v1 v2 ... vn . По закону случайных погрешно-
1
n
стей v должна быть близкой или равна нулю. Если эта величина больше
1
0,3, то необходимо из результатов измерений исключить систематическую погрешность.
В этом случае вычисляют свободные от систематического влияния поправки v':