54

–раствор циркуля меньше расстояния между горизонталями. В этом случае проводят линию по кратчайшему расстоянию.

–раствор циркуля больше расстояния между соседними горизонталями с разными отметками. При этом линию маршрута проводят вдоль исходной горизонтали до точки, где становится возможным переход на соседнюю горизонталь без превышения заданного уклона.

–точки располагаются на горизонталях с одинаковыми отметками. Их соединяют прямой линией.

3.6. Способы определения площадей и объемов по картам и планам

Важным видом информации при инженерных изысканиях и проектировании дорог, мостовых переходов, других сооружений является площадь объекта. Различают следующие способы измерения площади объекта на картах и планах:

–аналитический;

–механический;

–графический;

–геометрический.

3.6.1. Аналитический способ

Этот способ применяют в основном при автоматизированном вычислении площади по известным координатам точек. Точность способа зависит от точности определения координат. На рисунке ниже изображена фигура, ограниченная прямыми линиями с вершинами в точках 1, 2, 3, 4. Площадь участка S1234 можно представить как алгебраическую сумму площадей трапеций:

S1234 = S122'1' + S233'2' – S433'4' – S144'1'

55

Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. Следовательно:

2 S1234 = (Х1 + Х2)(Y2 – Y1) + (Х2 + Х3)(Y3 – Y2) – (Х3 + Х4)(Y3 – Y4) –

– (Х4 – Х1)(Y4 – Y1).

Выполнив преобразования, получаем

2 S = Х1(Y2 – Y4) + Х2(Y3 – Y1) + Х3(Y4 – Y2) + Х4(Y1 – Y3).

Для любого n-угольника в общем виде вычислить площадь можно по формуле

n

2S = X i (Yi 1 Yi 1) . i 1

Для контроля применяют формулу

n

2S = Yi ( X i 1 X i 1). i 1

Эти формулы служат алгоритмом для программирования на ЭВМ.

3.6.2. Механический способ

При этом способе площадь участка определяется механическим или электронным планиметром. Механические планиметры известны довольно давно, и представляют собой систему шарнирно соединенных рычагов: полюсного и обводного. Площадь определяется путем обвода криволинейной границы участка острием обводного рычага планиметра О. При этом полюсный рычаг Р должен быть закреплен неподвижно так, чтобы при обводе фигуры угол между рычагами β не был больше 150½ и меньше 30½. Колесико К счетного механизма М при обводке не должно соскальзывать с листа карты или бумаги.

56

Порядок считывания отчета по механизму планиметра следующий: по стрелке на циферблате выбирается меньшее число – 2; по шкале на счетном колесике выбирается число напротив нуля верньера – 78; по верньеру выбирается номер штриха, сливающийся с любым штрихом колесика – 4. Полный отсчет 2784

Для определения площади берут отсчеты по счетному механизму планиметра до начала обводки n1 и в конце обводки n2. Площадь определяют по формуле S (n2 n1) , где μ – цена деления планиметра.

Цену деления планиметра определяют заранее из обводки фигуры с известной площадью (чаще это квадрат координатной сетки на плане со сторонами 10Ì10 см):

Sизв .

n2 n1

Площадь определяют, обводя контур фигуры дважды по часовой (или против часовой) стрелке при положении žполюс слева¤ и дважды при положении žполюс справа¤. На рисунке изображен планиметр при положении счетного механизма справа от линии, проведенной из неподвижной точки Р (полюсный рычаг) на подвижную точку О обводного рычага. Это положение называется žполюс справа¤.

Расхождение разностей n между двумя обводами не должно превышать 3 делений для площадей до 200 м2 и 4 делений для площадей более 200 м2. Относительная ошибка определения площади механическим планиметром составляет от 1:100 до 1:400.

Процесс автоматизации определения площадей привел к созданию электронного планиметра. В этом случае обводка контура выполняется оператором вручную. Электронные планиметры способны вычислять площади в любых единицах измерений – квадратных сантиметрах или дюймах, имеют цифровую клавиатуру, при помощи которой можно вводить пользовательский масштаб. Измеренные значения отображаются на жидкокристаллическом дисплее.

57

Планиметр PLANIX–5, показанный выше, относится к планиметрам полярного типа, позволяет максимально быстро и точно вычислять площади замкнутых контуров на плоской поверхности. Он имеет полюсное плечо – с его помощью и осуществляется движение в пределах площади, которую необходимо измерить. Жидкокристаллический дисплей однострочный, вмещает 8 символов. В стандартном комплекте вместе с самим планиметром поставляются зарядное устройство к нему и инструкция по применению, а также футляр для прибора.

Точности измерений планиметра PLANIX–5 составляет 0,2 %. Максимальный диаметр, в пределах которого может осуществлять измерения PLANIX–5 – 35,6 см. Длина плеча при габаритах 64Ì213Ì39 мм составляет 222 мм. Никель-кадмиевый аккумулятор планиметра позволяет работать без подзарядки до 30 часов.

3.6.3. Графический способ. Палетки

Этот способ применяется для участков, ограниченных криволинейными линиями. При графическом способе используют различного вида палетки: состоящие из квадратов или из параллельных линий, проведенных через равные отрезки, обычно равные 2 или 5 мм. Палетки изготавливают из прозрачного материала – лавсана, пленки, кальки.