ТЕМА 6. непосредственные УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
Умозаключение – форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений (называемых посылками) выводится новое суждение – заключение (вывод).
Непосредственным называется умозаключение, содержащее одну посылку. Оно получается преобразованием данного суждения по определенным правилам. Часто преобразованное суждение помогает уточнить высказанную мысль, выразить ее яснее или вскрыть какие–то новые оттенки смысла.
Виды непосредственных умозаключений Превращение.
Обращение. Противопоставление предикату.
Покажем преобразования суждений каждого логического вида на конкретных примерах. Для каждого суждения запишем формулу, определим понятия соответствующие субъекту (S) и предикату (P)
1. «Все фиалки являются цветами» (А),
SP(S)
;
S – «быть фиалкой», P – «те, кто является цветком».
2. «Никто из мушкетеров не уклонялся от дуэлей» (Е), S P(S) ; S – «быть мушкетером», P – «те, кто уклоняется от дуэлей».
3. «Некоторые автомобили требуют ремонта» (J), SP(S) ; S – «быть автомобилем», P – «то, что требует ремонта».
4. «Некоторые птицы не летают» (О),
S P(S)
;
S – «быть птицей», P – «те, кто умеет летать»
Превращение – операция, при которой изменяется качество посылки, без изменения ее количества. Осуществляется двумя способами:
1)используя двойное отрицание, которое ставится перед связкой и перед предикатом: S есть P → S не есть не–P.
2)перевод отрицания из связки в предикат: S не есть P → S есть не–P.
Таблица 5. Превращение простых суждений
1.Все S есть P (A) → Ни одно S не есть не–P (Е)
Ни одна фиалка не является не–цветком.
2. Ни одно S не есть P (Е) → Все S есть не–P (А)
Все мушкетеры являются теми, кто не уклоняется от дуэлей.
3.Некоторые S есть P (J) → Некоторые S не есть не–P (О)
Некоторые автомобили не являются тем, что не требует ремонта
4.Некоторые S не есть P (О) → Некоторые S есть не–P (J)
Некоторые птицы являются теми, кто не умеет летать.
Обращение – операция, при которой качество суждения остается прежним, а субъект и предикат меняются местами.
25
Таблица 6. Обращение простых суждений
1.Все S есть P (A) → Некоторые P есть S (J)
Некоторые цветы являются фиалками.
2.Ни одно S не есть P (Е) → Ни одно P не есть S (Е)
Ни один человек, уклоняющийся от дуэлей, не является мушкетером.
3. Некоторые S есть P (J) → Некоторые P есть S (J)
Часть того, что требует ремонта является автомобилями.
4. Некоторые S не есть P (О) → не обращаются
Противопоставление предикату – логическая операция, при которой в заключении предикатом является субъект, субъектом – понятие, противоположное предикату исходного суждения, связка меняется на противоположную:
S есть P → не–P не есть S.
Схема построения Вместо Р берем не–Р. Меняем местами S и не–Р.
Связку меняем на противоположную.
Таблица 7. Противопоставление предикату в простых суждениях
1.Все S есть P (A) → Ни одно не–P не есть S (О)
Ни один не–цветок не является фиалкой.
2.Ни одно S не есть P (Е) → Некоторые не–P есть S (J)
Некоторые люди, не уклоняющиеся от дуэлей, являются мушкетерами.
3.Некоторые S есть P (J) → не преобразуется
4.Некоторые S не есть P (О) → Некоторые не–P есть S (J)
Некоторые не летающие существа являются птицами.
Пример 1. Исходное суждение (посылка) "Все рыбы живут в воде". В нем субъект S – "рыбы", понятие, соответствующее предикату Р – "существа, живущие в воде".
Из данного суждения можно получить следующие умозаключения: "Ни одна рыба не является существом, не живущим в воде" (превращение, по таблице 5); "Некоторые живущие в воде существа есть рыбы" (обращение, по таблице 6); "Ни одно не живущее в воде существо не является рыбой" (противо-
поставление предикату, по таблице 7). Все четыре предложения одинаковые по содержанию и отличаются только по форме.
Задание 7. Определить логическую форму суждения, субъект, предикат. Сделайте все возможные умозаключения из следующих суждений.
7.1. Все билеты на автобус проданы.
7.2. Ни один прокурор не является адвокатом.
7.3. Некоторые предприниматели имеют высшее образование. 7.4. Некоторые моряки не умеют плавать.
7.5.Все звезды излучают энергию.
7.6.Ни одна рыба не является млекопитающим.
7.7. Некоторые планеты светят собственным светом.
26
7.8. Некоторые выводы этой статьи не подтвердились.
7.9. Все студенты, живущие в общежитии, разъехались на каникулы. 7.10. Ни один треугольник не является квадратом.
7.11. Некоторые студенты сдали экзамен досрочно.
7.12. Некоторые зрители не могли сдержать слез.
7.13.Все города являются населенными пунктами.
7.14.Ни одна планета не является звездой.
7.15.Некоторые политики являются писателями.
7.16.Некоторые древние греки были учеными.
7.17.Все школьники являются учащимися.
7.18.Некоторые геометрические фигуры не являются треугольниками.
7.19.Многие олимпийские чемпионы – россияне.
7.20.Все квадраты не являются треугольниками.
7.21.Все автомобили являются средствами передвижения.
7.22.Некоторые треугольники являются равносторонними.
7.23.Ни одна летучая мышь не является птицей.
7.24.Некоторые дети не умеют читать.
7.25.Все живые организмы размножаются.
7.26.Ни одно животное не обладает мышлением.
7.27.Некоторые мосты очень красивы
7.28.Все обезьяны едят апельсины.
7.29.Некоторые цветы являются хищниками.
7.30.Многие успешные предприниматели не обучались бизнесу за границей.
27
ТЕМА 7. Правильность УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
Рассмотрим умозаключения, содержащие две и более посылок. Умоза-
ключение является логически правильным, если из истинности всех его посылок следует истинность заключения.
Умозаключение логически неправильно, если при истинности всех его посылок заключение может быть как истинным, так и ложным.
Правильность умозаключения проверяется с помощью таблиц истинности или, в том случае если посылок много, индуктивным методом.
Общая схема проверки Запишем формулу каждой Посылки (П) и Заключения. Оформим задачу в виде схемы
Посылка1 Посылка2
Заключение Запишем конъюнкцию посылок Посылка 1 Посылка 2.
Строим таблицу истинности.
Исследуем строки, где Посылка 1 Посылка 2 = 1. Если во всех этих строках Заключение = 1, то умозаключение логически правильно. Если встречается строка, в которой Заключение = 0, то умозаключение логически непра-
вильно.
Пример 1. Проверить правильность умозаключения. «Если предмет интере-
сен, он полезен. Предмет неинтересен, значит, он бесполезен».
В этом примере две посылки. П1: «Если предмет интересен, он полезен», П2: «Предмет неинтересен».
Заключение располагается после слов «значит», «следовательно» и т.п. В данном случае Заключение: «Он (Предмет) бесполезен».
Составим формулы посылок и заключения. Введем простые суждения: Х – "предмет интересен", У – "предмет полезен".
Формулы П1: X Y, П2: Составим схему:
X Y
Х
Y
Х
Y .
Х .
X |
Y |
X Y |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
Х
0
0
1
1
(X Y)
0
0
1
1
Х
Y
0
1
0
1
Обе посылки истинны в 3 и 4 строчках, при этом заключение Y = 0 (ложно) в
третьей строке и Y = 1 (истинно) в четвертой строке. По определению умозаключение логически неправильно. Если бы в третьей строке была 1, то умозаключение было бы логически правильным.
Пример 2. «Число делится на 6 тогда, когда оно делится на 3. Некоторое число не делится на 6. Следовательно, оно не делится на 3». Проверить пра-
вильность умозаключения.
Введем простые суждения: А – "число делится на 6", В – "число делится на 3". Схематически умозаключение запишется в виде:
В А |
Конъюнкция посылок (В А) А . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Проведем проверку правильности умозаключения с помощью таб- |
|||||
|
А |
|
||||||||
|
В |
лицы истинности. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
А |
B A |
А |
(B A) A |
B |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|||
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|||
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|||
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|||
Видно, что в последней строке (B A) A = 1 и заключение
В = 1. Напрашивается вывод, что умозаключение правильно. Внимательно анализируя посылки, видим, что первая посылка ложная. Действительно, если число делится на 3, то оно не всегда делится на 6, например число 9. Значит, при правильности умозаключений можно получить ложный вывод, если посылки ложны. Поэтому следует обращать внимание на истинность каждой посылки, а затем уже проверять правильность умозаключения.
Если посылок много или они сложны, применяется индуктивный способ проверки правильности умозаключения.
При этом используется метод от противного.
1.Пусть Заключение = 0, а все Посылки = 1.
2.Определим значения всех переменных при сделанном предположении.
3.Если можно найти значения переменных, при которых предположение выполняется, то умозаключение неправильно. Если предположение приводит к противоречию, то умозаключение правильно.
29
Пример 3. Проверить правильность умозаключения.
Если Петр живет в Киселевске, то Иван живет в Прокопьевске. Петр живет в Киселевске или Новокузнецке. Если Петр живет в Новокузнецке, то Сергей живет в Кемерово. Но Сергей не живет в Кемерово. Следовательно, Иван живет в Прокопьевске.
Введем простые суждения:
X – «Петр живет в Киселевске»,
Y – «Иван живет в Прокопьевске»,
Z – «Петр живет в Новокузнецке», Q – "Сергей живет в Кемерово".
Всего четыре посылки и одно заключение. Составим формулы и оформим умозаключения в виде схемы.
X Y |
|
|
|
|
X Z |
|
|
|
|
Z Q |
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
Используем для проверки индуктивный метод. |
|
|
||
Предполагаем, что все посылки истинны, а заключение ложно. |
|
|||
Посылки: 1. X Y = 1; |
2. X Z = 1; |
3. Z Q = 1; |
4. Q = 1 |
|
Заключение: |
5. Y=0. |
|
|
|
Найдем значения переменных при сделанном предположении. Из последнего равенства имеем Y = 0.
Из 4–го условия Q = 1, следовательно, Q = 0.
Подставляя найденное значение Y = 0 в 1–ое условие X Y = 1, получим X0 = 1. Тогда (по таблице 4) Х = 0.
Из условия Z Q = 1 при Q = 0 получаем Z 0 = 1, т.е. Z = 0.
Мы нашли значения всех переменных. Сделаем проверку, подставив их в последнее условие X Z = 1. Подставляем в него найденные значения X = 0, Z = 0, получаем 0 0 1. Условие не выполняется. Получили противоречие. Наше предположение о том, что Заключение = 0, т.е неверно, не подтвердилось. Следовательно, умозаключение логически правильно.
Пример 4. Проверить правильность умозаключения.
Если эта книга «Война и мир», то ее автор Лев Толстой. Автор данной книги Лев Толстой, следовательно, это книга «Война и мир».
Введем простые суждения А – «это книга «Война и мир», В – «автор книги Лев Толстой». Составим формулы и оформим умозаключения в виде схемы. Поверим правильность индуктивным методом.
А В |
А В = 1 |
Подставим значения 0 1 = 1 |
В |
В = 1 |
Мы нашли значения всех перемен- |
А |
А = 0 |
ных. Противоречия нет. |
|
|
|
30
Наше предположение, что Заключение = 0 подтвердилось, следовательно,
умозаключение логически неправильно.
Задание 8. Проверить правильность следующих умозаключений.
8.1. Если прямые параллельны, то у них нет общих точек. У данных прямых нет общих точек. Следовательно, данные прямые параллельны.
8.2. Если векторы а и b параллельны, то их векторное произведение равно нулю. Данные векторы не параллельны. Следовательно, их векторное произведение не равно нулю.
8.3. Если число делится на 8, то оно делится и на 4. Данное число делится на 4. Следовательно, оно делится и на 8.
8.4. Если молния ударяет в провода, несущие электрический ток, то в них повышается напряжение. Молния не ударила в провода. Следовательно, напряжение в них не повысилось.
8.5. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб. В данном параллелограмме диагонали не перпендикулярны. Следовательно, это не ромб.
8.6. Если горная порода длительное время подвергается действию солнечных лучей, то она разрушается. Горная порода разрушилась. Следовательно, она долгое время подвергалась действию солнечных лучей.
8.7. Если человек совершил преступление, то он был на месте преступления. Человек не был на месте преступления. Следовательно, он не совершал преступления.
8.8. Если прямая касается окружности, то у них есть одна общая точка. Эта прямая не касается окружности. Следовательно, у прямой и окружности общей точки нет.
8.9. Если они поедут на общественном транспорте, то обязательно опоздают. Если они поедут на такси, то потратят последние деньги. Они не опоздали. Следовательно, они потратили последние деньги.
8.10. Если на тело не действуют никакие силы, ускорение его равно нулю. На тело не действуют силы. Следовательно, ускорение его равно нулю.
8.11. Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон. Следовательно, этот треугольник прямоугольный. 8.12. Если в атмосфере Марса есть кислород, жизнь на Марсе возможна. В атмосфере Марса нет кислорода. Следовательно, жизнь на нем невозможна. 8.13. Гласные произносятся четко лишь тогда, когда они находятся под ударением. Эти гласные не произносятся четко. Следовательно, они не находятся под ударением.
8.14. Лунное затмение наступает тогда, когда на Луну падает тень Земли. В настоящий момент на Луну падает тень Земли. Следовательно, происходит лунное затмение.
8.15. Число делится на 9 тогда, когда оно делится на 2. Это число не делится на 9. Следовательно, оно не делится на 2.
31
8.16. Если животное является зеброй, то оно полосатое. Это животное полосатое. Следовательно, это – зебра.
8.17. Курить – вредить здоровью. Он не вредит своему здоровью. Следовательно, он не курит.
8.18. Если два числа равны друг другу, то их квадраты также равны. Квадраты этих двух чисел равны друг другу. Значит, заданные числа одинаковы.
8.19. Карпов не будет чемпионом, если не выиграет эту партию. Карпов выиграл эту партию. Значит, он будет чемпионом.
8.20.Все мои друзья простудились. Тому, кто простужен, нельзя петь. Следовательно, моим друзьям нельзя петь.
8.21.В воскресенье мы собирались поехать на природу или посидеть в кафе. В кафе мы посидели. Следовательно, на природу мы не ездили.
8.22.Если будет ранняя весна, то горные реки выйдут из берегов. Горные реки вышли из берегов. Следовательно, была ранняя весна.
8.23.Если преступник прошел в помещение через дверь, то должен быть взломан замок. Если он проник в помещение через окно, то должен был оставить следы на окне. Но замок не взломан и на окне нет следов. Следовательно, преступник не проникал в помещение ни через дверь, ни через окно.
8.24.Если идет дождь, то небо покрыто тучами. Небо покрыто тучами. Значит, идет дождь.
8.25.Если неверно, что отец или мать получат в июле отпуск, то дочь и сын останутся на июль в городе. Дочь или сын в июле не были в городе. Значит, кто–то из родителей в июле получил отпуск.
8.26.Если все посылки истинны и умозаключение правильно, то вывод верен. Вывод ложный. Следовательно, умозаключение неправильное или не все посылки истинны.
8.27.Суждения бывают утвердительными и отрицательными. Это суждение утвердительное. Значит, оно не отрицательное.
8.28.Если человек является последовательным христианином, то он не является язычником. Человек не является последовательным христианином. Значит, он – язычник.
8.29.Если человек говорит неправду, то он заблуждается или сознательно вводит в заблуждение других. Этот человек говорит неправду, но явно не заблуждается. Следовательно, он сознательно вводит в заблуждение других.
8.30.Если студент посещает лекции и работает на практических занятиях, то он хорошо сдает экзамен. Студент не сдал экзамен. Значит, он не посещал лекции или не работал на практических занятиях.
32