ТЕМА 4. ЛОГИЧЕСКАЯ РАВНОСИЛЬНОСТЬ
В логике говорят, что суждения равносильны, если они одновременно истинны и одновременно ложны. Одновременно, т.е. при одних и тех же значениях переменных. Обозначается равносильность знаком .
Проверку равносильности проводят с помощью таблиц истинности. Исходные суждения записывают в виде формул. Для каждой формулы составляют таблицу истинности (можно по отдельности, можно общую). Анализируют результаты: одинаковы ли полученные значения. Если да, то суждения равносильны, если есть отличия, то неравносильны.
Пример 1. Покажем, что суждения "Неверно, что если Иванов занимается боксом, то он не умеет плавать" (А) и "Иванов занимается боксом и умеет плавать" (В) равносильны.
Запишем простые суждения p – "Иванов занимается боксом", q – "Иванов умеет плавать".
Формулы суждений: А = ~ (p → ~ q), В = p q. Составим таблицы истинности для этих формул и проанализируем полученные результаты.
Видно, что значения А и В совпадают во всех строчках таблицы, значит эти сужде-
ния равносильны и можно использовать то, которое яснее выражает мысль.
p |
q |
~ q |
p→ ~ q |
A = ~ (p → ~ q) |
B = p q |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Задание 5. Устано-
вите, являются ли равносильными следующие суждения.
5.1. Если студент сдал все зачеты, то он допущен к экзаменам. Если студент допущен к экзаменам, значит, он сдал все зачеты.
5.2. Если студент сдал все зачеты, то он допущен к экзаменам. Если студент не допущен к экзаменам, то он не сдал все зачеты.
5.3. Если студент не допущен к экзаменам, значит, он не сдал зачеты. Если студент не сдал зачеты, то он не допущен к экзаменам.
5.4. Неверно, что лекция по математике будет в понедельник или вторник. В понедельник и вторник лекции по математике не будет.
5.5. Неверно, что лекция по математике будет в понедельник или вторник. В понедельник или вторник лекции по математике не будет.
5.6. Эту книгу очень хвалят, но я ее не читала. Неверно, что если эту книгу очень хвалят, то я ее читала.
5.7. Неверно, что Галя и Света пошли в кино. Галя не пошла в кино и Света не пошла в кино.
5.8. Вечером будет дискотека, а потом мы пойдем гулять. Неверно, что если мы не пойдем гулять, то и дискотеки не будет.
19
5.9. Неверно, что автобусы № 29 или № 27 идут до аэропорта. Автобусы № 29 и 27 не идут до аэропорта.
5.10.Если Сергей сможет купить билет, то в субботу он поедет домой. Если в субботу Сергей поедет домой, значит, он смог купить билет.
5.11.Олег не занимается альпинизмом или Виктор не занимается альпинизмом. Неверно, что Олег и Виктор занимаются альпинизмом.
5.12.Сын работает на заводе, а дочь учится в школе. Неверно, что сын не работает на заводе или дочь не учится в школе.
5.13.Неверно, что слово ставится в начале предложения и при этом не пишется с большой буквы. Если слово ставится в начале предложения, то оно пишется с большой буквы.
5.14.Если число оканчивается нулем или цифрой 5, то оно делится на 5. Если число делится на 5, то оно оканчивается нулем или цифрой 5.
5.15.Если по проводнику проходит электрический ток, то вокруг проводника возникает магнитное поле. Если вокруг проводника возникает магнитное поле, то по проводнику проходит электрический ток.
5.16.Если человек хитрый, то он умный. Если человек умный, то он хитрый.
5.17.Звонок уже прозвенел, но урок в этом классе не закончился. Неверно, что если прозвенел звонок, то урок в этом классе закончился.
5.18.Николай не купил газету или купил журнал. Если Николай купил газету, то купил журнал.
5.19.Поезда из Москвы и Новосибирска прибыли в Кемерово без опоздания. Неверно, что поезд из Новосибирска или из Москвы прибыл в Кемерово с опозданием.
5.20.Если в газете напечатана реклама этой фирмы, то спрос на ее товар увеличился. Если спрос на товар этой фирмы не увеличился, значит, ее реклама в газете не напечатана.
5.21.Если облигация выиграла в первом тираже, то во втором она не участвует. Если облигация не выиграла в первом тираже, то она участвует во втором.
5.22.Если студент сдал хотя бы один экзамен на оценку ниже четырех, то он лишается стипендии. Если студент лишен стипендии, значит, он хотя бы один экзамен сдал на оценку ниже четырех.
5.23.Если студент сдал все экзамены без троек, то он получает стипендию. Если студент не получает стипендию, значит неверно, что он сдал все экзамены без троек.
5.24.Светлана сдала сессию, но не уехала к родителям. Неверно, что если Светлана сдала сессию, то она уехала к родителям.
5.25.Неверно, что в зимнюю сессию студенты не сдают экзамен по математике или по физике. В зимнюю сессию студенты сдают экзамены по математике и по физике.
5.26.Сергей успел на поезд или на автобус. Неверно, что Сергей не успел на поезд и на автобус.
20
5.27. Если студент житель города Киселевска, то он нуждается в общежитии. Если студент нуждается в общежитии, то он житель города Киселевска.
5.28. В финал соревнований выйдут команды горного и экономического факультетов. Неверно, что команды горного и экономического факультетов не выйдут в финал.
5.29. Если я выиграю гранд, то буду учиться в Оксфорде. Я не выиграю гранд или буду учиться в Оксфорде.
5.30. Сегодня группа сдает зачет по математике и по информатике или будет сдавать зачет по математике, а по информатике не будет. Сегодня группа сдает зачет по математике.
21
ТЕМА 5. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ
Наиболее важные равносильности формул логики высказываний назы-
вают законами логики:
1. X X – закон тождества.
Всякая мысль тождественная сама себе и, в процессе рассуждения, сохраняет свое значение. Необходимо следить, чтобы не было подмены значения. «Я иду в новых брюках, а ты идешь в гимназию». Два понятия «идти» – не тожде-
ственны.
2. Х Х 0 –закон противоречия.
Два противоречивых суждения об одном и том же предмете не могут быть од-
новременно истинны. Х – Иванов отличник, Х – Иванов не отличник (речь идет об одном и том же человеке, в один и тот же период времени).
3. Х Х 1 – закон исключенного третьего.
Два противоречивых суждения об одном и том же предмете не могут быть од-
новременно ложными - «Завтра будет дождь или завтра не будет дождя».
4. Х Х – закон двойного отрицания.
«Неверно, что все студенты нашей группы не сдали зачет по логике» «Все студенты нашей группы сдали зачет по логике».
5. X Y Y Х, X Y Y Х – законы коммутативности.
«Я почитаю газету или журнал» «Я почитаю журнал или газету».
6. (X Y) Z X (Y Z); (X Y) Z X (Y Z) – законы ассоциативности.
«Я схожу в магазин, вымою пол, а также приготовлю ужин» «Я схожу в магазин, а также вымою пол и приготовлю ужин».
7. X (Y Z) (X Y) (X Z); X (Y Z) (X Y) (X Z) – законы дистрибутивности.
«Я сегодня сдам зачет по геологии, а также по химии или по физике» «Я сегодня сдам зачет по геологии и по химии или по геологии и по физике».
8. X X X; X X X – закон идемпотентности. «На улице тепло, на улице тепло» «На улице тепло».
9.X 1 X; X 0 0; X 1 1; X 0 X – свойство констант.
10.Х Y Х Y; Х Y Х Y – законы де Моргана.
«Неверно, что я знаю арабский или китайский язык» «Я не знаю арабского языка и не знаю китайского языка».
11. X (X Y) X; X (X Y) X – законы поглощения.
«Я сдам сессию или сдам сессию и поеду домой» «Я сдам сессию».
22
12. X Y Y X – закон контрапозиции.
«Если Винни–Пух съел мед, то он сытый» «Если Винни–Пух голоден, то он не ел мед».
13. X Y X Y ; X Y X Y – законы замены импликации.
Если я выиграю конкурс, то получу приз» «Я не выиграю конкурс или получу приз».
С помощью законов логики можно упростить суждение, выбрать более четкую формулировку.
Пример 1. Дано суждение: «Неверно, что если пойдет дождь, соревно-
вания отменят». Формула данного суждения X Х – «пойдет дождь», а Y – «соревнования отменят».
Y , где простые суждения По закону замены импли-
кации X Y X Y (13) данное суждение равносильно следующему: «Пой-
дет дождь, но соревнования не отменят».
Задание 6. С помощью законов логики упростите суждения. Записать словами получившееся суждение.
6.1. Неверно, что если данное число делится на 14, то оно делится на 3. 6.2. Неверно, что экзаменатор не строг или не справедлив.
6.3. Неверно, что Татьяна не сдала зачет по логике и программированию.
6.4. В этом зале будут проводиться игры и танцы, или в этом зале будут проводиться игры и выставки.
6.5. Число n делится на 2 или на 4 и делится на 2 или на 3.
6.6. Мы сдадим зачет по математике и по физике или сдадим зачет по математике и по химии.
6.7. Неверно, что если я учусь, то не умею решать задачи по математике.
6.8. Если Андрей не участвовал в соревнованиях, значит, он не посещал тренировки.
6.9. Галя учит английский язык и немецкий, или она учит английский и французский.
6.10. На этой грядке мы посадим лук или на этой грядке мы посадим лук и морковь.
6.11. Неверно, что если в газете есть кроссворд, то мы будем его разгадывать. 6.12. Вечером мы смотрим телевизор или ходим в кино, а бывает, вечером мы смотрим телевизор или гуляем.
6.13. Неверно, что сегодня не будет лекции по математике и не будет лекции по физике.
6.14. Завтра будет сильный ветер и резкое понижение температуры или завтра будет сильный ветер, и будет яркое солнце.
6.15. Неверно, что сегодня по телевизору не покажут KВH или не покажут передачу "В мире животных".
23
6.16. Неверно, что если сигнальная лампочка не горит, то прибор испорчен. 6.17. В этом зале проводятся соревнования по легкой атлетике, а также проводятся соревнования по волейболу или легкой атлетике.
6.18. Неверно, что Игорь не сдал экзамен по математике и по физике.
6.19. Иван Иванович ловил рыбу и продавал ее дачникам или он ловил рыбу и вялил ее на солнце.
6.20. Неверно, что в этом лесу водятся медведи или волки. 6.21. Если машина не сможет проехать по этой дороге, значит, дорогу не расчистили от снега. 6.22. С 10 часов у нас бывают лекции, а также с 10 часов у нас бывают практические занятия или лекции.
6.23. Неверно, что в этой библиотеке нет книг на английском или немецком языке.
6.24. Неверно, что сегодня не было дождя и снега.
6.25. Сергей не решил эту задачу или Виктор не решил эту задачу.
6.26. Неверно, что эта работа не проверена или что в этой работе ошибки не исправлены.
6.27. Контрольная работа проверена и зачтена, или контрольная работа проверена, но в ней есть ошибки.
6.28. Неверно, что этой формулы нет в учебнике или нет в справочнике. 6.29. Неверно, что Игорь не пришел в институт или не был на лекции.
6.30. На практических занятиях студенты решают задачи, а также на практических занятиях студенты разбирают теоретические вопросы или решают задачи.
24