ТЕМА 3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ (СВЯЗКИ)

Логической операцией называется образование сложных суждений из простых. В таблице 3 приведены виды логических операций В таблице 4 значения их истинности, то есть в каких случаях полученные суждения истинные, а в каких – ложные. Ложное значение обозначается 0, истинное 1.

Таблица 3. Виды логических операций

Любое повествовательное предложение (сложное суждение) можно записать в виде формулы. Процесс называется формализацией суждения.

1.Определяем, из каких простых суждений состоит исходное суждение. Входящие в него простые суждения обозначаем буквами (p, q, X, Y, A, B). Они называются логическими переменными.

2.Определяем, какие союзы и частицы (логические связки) используются в предложении. По таблице 3 подбираем соответствующие логические операции. Для указания порядка выполнения операций используем круглые скобки.

12

3. Строим таблицу истинности – таблица, в которой показано при каких логических значениях переменных, входящих в формулу простых суждений, данное сложное суждение истинно (1), а при каких – ложно (0).

Пример 1. "Он будет работать начальником смены или мастером". Это сложное суждение, оно состоит из двух простых суждений. Пусть p – "он будет работать начальником смены", q – "он будет работать масте-

ром". Связка – союз «или», следовательно, операция дизъюнкция. Так как человек не может одновременно занимать две должности, то имеем дело с сильной дизъюнкцией p q.

Пример 2. «Неверно, что если идет дождь, то я буду сидеть дома». Суж-

дение сложное. В его составе два простых суждения и две логические опе-

рации. Простые суждения Х – «идет дождь», У – «я буду сидеть дома».

Связки: «если …, то» – импликация Х У, «неверно, что» – отрицание всего сложного суждения. Окончательная формула: ~ (Х У).

Строим таблицу истинности. В четвертом столбце значения противоположные значениям третьего столбца. Видно, что суждение истинно только в том случае, когда идет дождь (Х=1) и я не буду сидеть дома (У=0).

Пример 3. "Автомобиль подлежит конфискации, если он служил орудием совершения преступления или был добыт преступным путем".

Это сложное суждение, оно состоит из трех простых суждений. Пусть А –

"автомобиль подлежит конфискации", B – "автомобиль служил орудием совершения преступления", С – "автомобиль был добыт преступным пу-

тем". В суждении есть связки, "если ..., то" и "или". Видно, что суждения В и С связаны дизъюнкцией, суждение А является следствием в импликации. Получаем символическую форму суждения (B C) А. Дизъюнкция здесь простая, так как если B и С истинно, то и B C будет истинным. Составим таблицу истинности для трех переменных, она имеет 23=8 строк.

Видим, что суждение

13

Пример 4. «Если мы вовремя закончим занятия и не пойдем гулять, то вернемся домой часа в четыре». Суждение сложное. Чтобы определиться с простыми суждениями и операциями, расставим скобки: «Если (мы во-

время закончим занятия) и не (пойдем гулять), то (вернемся домой часа в четыре)». Видно, что три простых суждения и три операции. Суждения А

– «мы вовремя закончим занятия», В – «пойдем гулять» и С – «вернемся домой часа в четыре». Суждение В входит в формулу с отрицанием («не»); «если …, то» – импликация; А и не–В соединены конъюнкцией (союз «и»). Окончательная формула: (A ˄ ~B) → C.

Строим таблицу истинности. Находим последовательно значение всех промежуточных операций. В столбце 3 значения противоположные столбцу 2 (~B). В столбце 5 конъюнкция для значений столбцов 1 и 3. Столбец 6: импликация, причем посылка значения столбца 5, а следствие значения столбца 3.

Проще всего заполнить, анализируя значения: импликация равна 0 только в одном случае 1 0 . Смотрим, в каких строчках столбца 5 стоит 1 и в столбце 3 в этих же строчках стоит 0. Подходит только одна строка, там проставляем 0, остальные заполняем 1.

Суждение ложно только в одном случае: закончили вовремя (А = 1), не гуляли (В = 0), а домой часам к четырем не вернулись

(С = 0).

Задание 3. Указать простые суждения. Используя логические операции, записать формулу сложного суждения. Построить таблицу истинности для полученной формулы и проанализировать её.

3.1. Если самолет терпит аварию, то летчик должен либо катапультироваться, либо попытаться посадить машину.

3.2. Спортсмен подлежит дисквалификации, если он нетактичен по отношению к судье и если он употребляет стимулирующие вещества.

14

3.3. В кондитерском магазине покупатели обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет. 3.4. Человек не может быть одновременно гением и злодеем.

3.5.Если погода солнечная, то можно косить сено, если погода пасмурная, то лучше идти за грибами.

3.6.Неверно, что если дует ветер, то солнце светит лишь тогда, когда нет дождя.

3.7.Если идет дождь, но я останусь дома, то я не вымокну.

3.8.Вася пойдет на рыбалку, и если ему повезет, он вернется домой с уловом.

3.9.Я поеду в автобусе или на трамвае и почитаю книгу в дороге.

3.10. Дружба крепка не лестью, а правдой и честью.

3.11. Если студент захочет учиться, то он легко сдаст все зачеты и экзамены.

3.12. О мертвых говорят или хорошо, или ничего.

3.13. Если выучишь материал или тебе просто повезет, то сдашь зачет. 3.14. Юлий Цезарь пришел, увидел, победил.

3.15. Уж не жду от жизни ничего я, и не жаль мне прошлого ничуть.

3.16.Действие может быть либо продуманным, либо импульсивным, либо произведенным в состоянии аффекта.

3.17.Если вы посещаете все занятия или умеете учиться самостоятельно, то вы легко сдаете сессию.

3.18.Он не готовился к занятиям или систематически прогуливал их.

3.19.Известный английский философ Френсис Бэкон не жил ни в XIII ни в

XVIII веке.

3.20.Поиски мальчика длились уже три часа, но результатов не было

3.21. Умру за рубежом или в отчизне, с диагнозом не справятся врачи. 3.22. Не продается вдохновенье, но можно рукопись продать.

3.23. Будет отменена прогулка или не будет, но я останусь дома, если идет дождь.

3.24. Будет буря, мы поспорим и поборемся мы с ней.

3.25.Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ветра и до-

ждя.

3.26.Без Вас хочу сказать Вам много, при Вас я слушать Вас хочу.

3.27. Когда мне невмочь пересилить беду, когда наступает отчаянье, я в синий троллейбус сажусь на ходу.

3.28.Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то выходные проведу на природе.

3.29.Если пойдет дождь, и я не останусь дома, то вымокну.

3.30.Я не вымокну в том и только в том случае, когда нет дождя или я останусь дома.

15

Часто в задачах известно, что данные сложные суждения истинны. Требуется определить значения входящих в них простых суждений.

Идея решения.

1.Обозначим простые суждения.

2.Запишем формулы сложных суждений.

3. Если есть отрицание, то снимаем их. При этом значение суждения изменится на противоположное (если исходное суждение ~ X = 1, то X = 0).

4. Для определения значений используем «единственные» ситуации:

1 0 0 , 1 1 1, 0 0 0 и подстановку уже найденных значений. Пример 6. Даны три истинных суждения о четырех подозреваемых. а) Если Абрамов виновен, то Сидоров тоже виновен; б) Неверно, что если Васильев виновен, то и Дубов виновен; в) Неверно, что Сидоров виновен, а Дубов нет. Определите, кто из подозреваемых виновен.

1.Простые суждения: A – "Виновен Абрамов", B – "Виновен Васильев", С

– "Виновен Сидоров", D – "Виновен Дубов".

2.Формулы сложных суждений:

а) А С = 1; б) ~ (B D) = 1; в) ~ (C ˄ ~ D) = 1.

3. Снимем отрицание с суждения ~ (B D) = 1, получим B D = 0. Импликация равна нулю только в одном случае: 1 0 0 , то есть B = 1 и D

= 0.

Снимем отрицание с суждения ~ (C ˄ ~ D) = 1, получим C ˄ ~ D = 0. Известно, что D = 0, следовательно ~ D = 1. Подставим значение в формулу C ˄ 1 = 0. (Смотрим в таблице 4 колонку p q. В нашем случае q = 1, p q = 0, следовательно p = 0). Получаем значение С = 0.

Рассмотрим первую формулу А С = 1. Подставим в нее значение С, А0 = 1. Найдем по таблице 4 значение А, 0 0 = 1. Получается А = 0. Окончательный ответ: А = 0, В = 1, С = 0, D = 0. Выходит, что виновен Васильев.

Заметим, что тот же самый результат может быть получен и с помощью таблицы истинности, для нашей задачи она бы была громоздкой, так как содержала бы 16 строк (24=16), а в более простых случаях ею можно пользоваться.

Задание 4. Считая, что каждое из данных сложных суждений истинное, определить значения входящих в них простых суждений. Записать ответ словами.

4.1. Андрей хорошо играет в теннис или волейбол. Неверно, что он хорошо играет в баскетбол или теннис.

4.2. Я видел фильмы по романам "Анна Каренина" и "Война и мир". Неверно, что если я видел фильм по роману "Война и мир", то я не захочу прочитать сам роман.

4.3. Неверно, что этот фильм идет в «Юбилейном» или в «Москве». Он идет в «Юбилейном» или в «Космосе».

16

4.4. Если ночью был сильный ветер, то днем будет холодно. Неверно, что если ночью был сильный ветер, то днем не будет солнца.

4.5. Если мы пойдем на речку, то будем купаться. Неверно, что если мы будем купаться, мы не будем загорать.

4.6. Марина хорошо шьет или вяжет. Неверно, что она хорошо владеет макраме или вяжет.

4.7. Завтра я пойду в читальный зал и в театр. Неверно, что если я пойду в театр, я не встречусь с друзьями.

4.8. Сегодня я буду слушать музыку и делать уборку комнаты. Неверно, что если я буду делать уборку комнаты, то не успею приготовить обед. 4.9. Неверно, что Борис занимается бегом или плаванием. Он занимается теннисом или плаванием.

4.10. В сессию он ходит в библиотеку и читает много книг. Неверно, что если он читает много книг, то у него болит голова.

4.11. Если мы сдадим экзамены, то мы поедем на практику. Неверно, что если мы сдадим экзамены, мы не будем отдыхать.

4.12. Неверно, что мне нравится математика или физика. Мне нравится биология или математика.

4.13. Я читала романы "Унесенные ветром" и "Поющие в терновнике". Неверно, что если я читала роман "Унесенные ветром", то я не захочу посмотреть этот фильм.

4.14. Если на этой неделе будет лекция по физике, то на следующей будет лабораторная работа по физике. Неверно, что если на этой неделе лекция по физике, то на следующей неделе не будет контрольной работы.

4.15. Неверно, что если Алексей и Иван учат французский, то Сергей учит английский.

4.16. Галина и Ирина участвуют в команде КВН. Если Галина выступит в команде КВН, то команда будет хорошо играть.

4.17. Сергей не видел этот фильм, а Виктор видел. Сергей видел этот фильм или Андрей не видел. Сергей не видел этот фильм, но хотя бы один из двух его друзей видел.

4.18. Неверно, что мы пойдем в библиотеку или на консультацию. Мы пойдем в библиотеку или в кино.

4.19. Павел и Иван увлекаются компьютерами. Если Иван увлекается компьютером, то он сможет написать хорошую программу.

4.20. Вика читала эту книгу, а Света нет. Света читала эту книгу или Алла читала. Света не читала эту книгу, но хотя бы одна из ее подруг читала. 4.21. Если Жанна пойдет в кино, то и Катя тоже пойдет. Неверно, что если Таня пойдет в кино, то и Даша пойдет. В кино пойдет либо Жанна, либо Даша.

4.22. Неверно, что если Анна и Ольга учат английский язык, то Яна учит французский.

17

4.23. Завтра она пойдет в гости и на прогулку. Неверно, что если она пойдет на прогулку, то не подготовится к занятиям.

4.24. Если Кирилл изучал логику, то Евгений тоже изучал ее. Неверно, что если Артем изучал логику, то и Денис изучал. Неверно, что Евгений изучал логику, а Денис нет.

4.25. Лариса и Вера увлекаются лыжами. Если Вера увлекается лыжами, то она займет 1 место в соревнованиях.

4.26. Сергей любит играть в шахматы или шашки. Неверно, что он любит играть в карты или шашки.

4.27. Если Наталья выучит экономику, то она защитит курсовую работу. Неверно, что если она выучит экономику, то познакомится со статистикой. 4.28. Вадим умеет водить машину, а Семен нет. Андрей не умеет водить машину или Семен умеет. Семен не умеет водить машину, хотя один из двух других умеет.

4.29. Неверно, что они увлекаются техникой или спортом. Они увлекаются спортом или компьютерами.

4.30. Если Светлана хорошо поет, то Татьяна тоже. Неверно, что если Оксана хорошо поет, то и Галина хорошо поет. Хорошо поет либо Светлана, либо Галина.

18