21

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Кузбасский государственный технический университет"

Кафедра информационных и автоматизированных

производственных систем

Математическое описание цифровых систем управления

Методические указания к лабораторной работе по курсу

Основы теории управлениядля студентов специальности 230201 "Информационные системы и технологии"

Составители Г. А. Алексеева

И. В. Чичерин

Утверждены на заседании кафедры

Протокол № 5 от 02.02.2011

Рекомендованы к печати

учебно-методической комиссией

специальности 230201

Протокол № 275 от 11.03.2011

Электронная копия находится

в библиотеке ГУ КузГТУ

Кемерово 2011

1. Цель работы

Цель работы – изучение математических моделей цифровых систем управления (ЦСУ) и приобретение практических навыков в получении дискретных математических моделей в форме дискретных передаточных функций и разностных уравнений.

2. Основные теоретические положения

В работе рассматриваются способы построения дискретных математических моделей для элементов системы и для ЦСУ в целом на основе известных непрерывных математических моделей систем автоматического управления (САУ).

В качестве дискретных моделей рассматриваются разностные уравнения во временной области и дискретные передаточные функции в частотной области. Непрерывными математическими моделями являются во временной области дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения, а в частотной области – непрерывные передаточные функции.

Линейные разностные уравнения n-го порядка задаются соотношением

, (1)

где a₁, …,a_n,b₀,b₁, …,b_m– коэффициенты разностного уравнения;

y(i),v(i) – соответственно значения выходной и входной переменных в текущий момент времениt_i=iDt;

Dt– шаг дискретизации;

i– дискретный аналог текущего момента времени, являющийся безразмерной величиной, характеризующий номер текущего отсчета;

y(i– 1), …,y(i – n) – значения выходной переменной в предыдущие моменты времениt_{i  1}, …,t_{i  n};

v(i – 1), …,v(i – m)значения входной переменной в предыдущие моменты времениt_{i  1}, …,t_{i  m}.

Разностные уравнения обладают важным преимуществом перед дифференциальными уравнениями, так как разрешенные относительно y(iDt) они уже в самой записи (2.2) содержат алгоритм решения, легко реализуемый на ЭВМ, так как представляют собой рекуррентную формулу расчета текущего значения выходной переменнойy(i).

, (2)

Дискретные передаточные функции получаются на основе Z-преобразования, которое в дискретном случае играет такую же роль, что и преобразование Лапласа в непрерывном случае.Z-преобразование тесно связано с дискретным преобразованием Лапласа. Эта связь определяется соотношением:

, (3)

где x^*(t) – дискретная последовательность (решетчатая функция), задаваемая соотношением

, (4)

где (t – it) – смешенные дельта-функции, существующие только в моменты времениt_i = iDtи равные нулю при всех других значенияхt.

Пример дискретной последовательности x^*(t)={x(it)} приведен на рисунке 1.

Недостатком дискретного преобразования Лапласа является наличие в выражении (3) трансцендентного сомножителя e^–piDt, из-за которого преобразованиеX^*(p) и дискретные передаточные функции становятся иррациональными функциями аргументаp, что создает трудности при их использовании.

С целью получения дискретной передаточной функции в дробно-рациональной форме, свойственной непрерывным системам вводят замену

. (5)

Тогда имеем, что

. (6)

Рисунок 1 – Дискретная последовательность

Выражение (6) называется Z-преобразованием дискретной последовательностиX^*(t).

Главное достоинство и удобство Z-преобразования состоит в том, что сама записьZ-преобразования (6) дает простой способ выполнения прямого и обратногоZ-преобразований:

1. Для нахождения Z-преобразования известной временной функцииx(t) необходимо ее каждое дискретное значениеx(iDt) умножить на (z - i), а затем свернуть получившийся ряд.

2. Для нахождения временной функции x(t) по известному Z-изображениюX(z), необходимоX(z) представить в виде степенного ряда по убывающей степени (z - i), получающиеся при этом числовые коэффициенты являются дискретными значениямиx(iDt) функцииx(t). В соответствии с данными правилами составлена таблица, содержащая наиболее часто употребляемые временные функции, их изображения по Лапласу иZ-изображения выходной последовательности кZ-изображению входной последовательности при нулевых начальных условиях, то есть

. (7)

Если известно аналитическое выражение весовой функции, то

. (8)

Дискретная передаточная функция в дробно-рациональной форме имеет вид:

, (9)

где z - 1 – есть временная задержка на один шаг дискретизации.