2 семестр - Математика 2-ая контрольная
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Кузбасский государственный технический университет имени Т.Ф.Горбачева
И. А. Ермакова, Гоголин В.А.
МАТЕМАТИКА
Методические указания к контрольной работе №2 для студентов направления подготовки
бакалавров 280700.62 «Техносферная безопасность» профили 280702.62 «Безопасность технологических процессов
и производств» 280705.62 «Инженерная защита окружающей среды»
заочной формы обучения
Рекомендованы учебно-методической комиссией направления 280700.62
вкачестве электронного издания для самостоятельной работы
Кемерово 2014
1
Рецензент
Волков В. М. – доцент кафедры математики
Ермакова Инна Алексеевна, Гоголин Вячеслав Анатольевич. Математика: методические указания к контрольной работе №2 для студентов направления подготовки бакалавров 280700.62 «Техносферная безопасность», профили 280702.62 «Безопасность технологических процессов и производств», 280705.62 «Инженерная защита окружающей среды», заочной формы обучения. [Электронный ресурс] / И. А. Ермакова, В. А. Гоголин. – Электрон. дан. – Кемерово: КузГТУ, 2014. – Систем. требования: любой компьютер, поддерживающий Microsoft Windows –97 и выше, мышь. – Загл. с экрана.
Приводятся задания и методические указания по их решению по темам, которые, согласно рабочей программе, изучаются во 3 семестре. Выполнение заданий, изложенных в методических указаниях, позволяет студенту качественно подготовиться к экзамену, вопросы к которому прилагаются.
© КузГТУ, 2014 © Ермакова И. А., © Гоголин В. А., 2014
2
Дисциплина «Математика» изучается в течение двух семестров: на 1-м курсе во втором семестре и на 2-м курсе в третьем семестре. В третьем семестре 2-го курса студенты заочной формы обучения выполняют контрольную работу №2.
Студент выполняет контрольную работу, выбирая вариант задания по последней цифре зачетной книжки. Если последняя цифра равна 0, то студент решает вариант №10. Работа, выполненная не по своему варианту, не проверяется.
Работу следует выполнять в рукописном виде.
Решения задач должны иметь объяснения в соответствии с методическими указаниями. При отсутствии письменных объяснений, студент должен быть готов дать устные пояснения к решению задач.
ПРОГРАММА 3 СЕМЕСТРА
РАЗДЕЛ 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
6.1. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования: подведение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям.
6.2.Определенный интеграл, его свойства и вычисление. Замена переменной под знаком определенного интеграла. Интегрирование по частям. Геометрические приложения определенного интеграла.
РАЗДЕЛ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ
7.1.Дифференциальные уравнения 1 порядка. Общее решение дифференциального уравнения. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные, линейные уравнения..
7.2.Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Случаи понижения порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами..
РАЗДЕЛ 8. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
8.1. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Классическое и геометрическое определение вероятности. Комбинаторика.
3
8.2.Вероятность суммы и произведения событий. Условная вероятность. Формулы полной вероятности и Байеса. Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли, Пуассона, МуавраЛапласа.
8.3.Дискретные случайные величины. Ряд и функция распределения. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
8.4.Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Нормальное распределение.
РАЗДЕЛ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
9.1.Генеральная совокупность и выборка. Точечная оценка параметров распределения случайных величин. Гистограмма, полигон частот, мода, медиана, размах выборки.
9.2.Интервальная оценка параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Доверительный интервал для среднего и дисперсии нормальной генеральной совокупности.
9.3.Проверка статистических гипотез. Уровень значимости, критическая область, статистические критерии для проверки гипотез о параметрах генеральной совокупности.
9.4.Парная линейная регрессия. Коэффициент корреляции, его свойства, проверка значимости.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2
ЗАДАЧА 1. Найти неопределенные интегралы.
Следует запомнить основные интегралы и их свойства:
1. dx x C. |
|
6. еxdx ex C |
|||||||||||||||||
|
xndx |
x |
n 1 |
C,( n 1) |
7. |
|
dx |
|
|
tgx C. |
|||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
n 1 |
cos |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||
3. |
|
dx |
ln |
|
x |
|
C |
8. |
|
dx |
|
|
ctgx C. |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
4. |
sin xdx cos ax C. |
9. |
|
|
dx |
|
arctgx C. |
|
|||
|
|
x2 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
cos xdx sin ax C. |
10. |
|
|
dx |
|
|
arcsin x |
C. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
kf ( x )dx k f ( x )dx.
Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:
( f1 f2 )dx f1dx f2dx.
Рассмотрим применение формулы №2 таблицы интегралов.
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x2dx |
x2 1 |
|
C |
x3 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
dx x 2dx |
x 2 1 |
C |
x 1 |
|
C |
1 |
C |
|
||||||||||||||||||||
x2 |
2 1 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
x1 3 1 |
|
C |
x4 3 |
C |
3x4 3 |
C |
|
|||||||||||||||||||
|
xdx x1 3dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 1 |
|
|
4 3 |
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
dx x |
2 5dx |
x 2 5 1 |
|
C |
x3 5 |
C |
5x3 5 |
C |
|||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
2 5 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим применение основных свойств интегралов.
Пример 5.
2xdx 2 x1dx 2 x1 1 C 2 x2 C x2 C
1 1 2
Пример 6.
cos x tgx dx cos xdx 1x dx C sin x ln x C
Пример 7.
5x 4 3x2 1 dx 5 x 4 dx 3 x2 dx dx x5 x3 x C
5
Пример 8. |
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
dx |
|
6x3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
6 x3dx 3 x 12dx 2 dx 6 x4 3 2x12 2x C
4
Рассмотрим применение формулы f kx b 1kF kx b C .
Другими словами, если в подынтегральной функции x умно-
жен на число k, то перед интегралом следует писать множитель 1k .
Пример 9.
sin 5x dx 15 cos 5x C
Пример 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
dx |
1 |
|
|
|
2x 1 |
|
C |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ln |
|
|
||||||||
2x 1 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3x 2 4 dx |
1 |
|
|
3x 2 5 |
C |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Важным способом интегрирования является подведение под знак дифференциала.
Дифференциал функции одной переменной u равен произведе-
нию ее производной на dx, то есть: du u dx . |
|
|
|||||
Например, u x2 , |
du 2x dx . |
|
|
|
|||
Вид интеграла не изменится, если вместо x и |
dx в нем |
будут |
|||||
присутствовать функция u f x и du , то есть: f u du F |
u C . |
||||||
Пример 12. |
|
|
|
|
|
||
sin5 x cos x dx |
u sin x |
|
|
|
|||
du cos x dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
u5du |
u6 |
C |
sin6 x |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
|
6 |
|
|
|
|
Пример 13.
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
x sin x2 1 dx |
u x2 1 |
|
1 |
sin u du |
1 |
cos u |
||||
du 2xdx |
2 |
2 |
||||||||
|
|
cos x2 |
1 C . |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Для решения этой задачи следует использовать определенный
интеграл, вычисление которого производится по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
b |
f x dx F( x ) |
|
b |
F b F a . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим применение этой формулы. |
|||||||||||||||||
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2dx |
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
7 |
2,3. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
3 |
|
|
1 |
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь вместо x подставляем сначала верхнюю границу x 2 , затем нижнюю границу x 1, между выражениями ставим знак «минус».
Пример 2.
3 |
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
3 |
|||
4x 3 dx 4xdx |
3dx 4 xdx 3 dx |
||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||
4 |
x2 |
|
|
3 |
3x |
|
31 2 32 2 1 2 3 3 3 1 16 12 4 . |
||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||
2 |
1 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2x , y 3 x2 .
Площадь фигуры, расположенной между двумя линиями находится по формуле:
b
S yв yн dx , a
где yв и yн – уравнения соответственно верхней и нижней линий, ограничивающих фигуру; а и b – точки пересечения линий.
7
Найдем точки пересечения этих линий, для чего приравняем правые части уравнений:
2x 3 x2 x2 2x 3 0 .
|
|
|
Найдем |
|
|
дискриминант и |
корни: |
|
|
D 22 4 3 16 , |
|||||||||||||||||||||||||
x 2 |
16 |
3, x |
2 |
2 |
16 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Построим линии между точками пересечения, для чего зада- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
дим несколько значений x |
и найдем соответствующие y. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1) |
y 2x , это прямая, постро- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||||||
им ее по двум точкам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
-3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
-6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y 3 x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2) |
|
это парабола, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
возьмем несколько точек. |
|
|
|
–3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
|
-3 |
|
-1 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
-6 |
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Из рисунка видим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
yв 3 x2 , yн 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–6 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Найдем площадь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
S y |
|
|
y |
|
dx |
3 x2 2x dx 3x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
в |
н |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 1 |
1 |
12 |
|
|
3 |
3 3 |
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 23 9 9 9 1 23 9 10,7 ед.кв.
ЗАДАЧА 3. Решить дифференциальные уравнения. Дифференциальным уравнением (ДУ) 1-го порядка называется
уравнение, содержащее первую производную y неизвестной функции y f x , которую надо найти. Основным видом ДУ 1 порядка являются уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид: y x y . Алгоритм решения этих уравнений выглядит следующим образом:
8
1)записывается, что y dydx ;
2)выражения с x переносятся в одну сторону, с y – в другую, то есть разделяются;
3)интегрируются обе части равенства.
Пример 1.
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dy |
|
|
|
y |
|
|
dy |
|
y |
|
dx |
|
dy |
|
|
1 |
dx . |
|||||
dx |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переменные разделены, интегрируем обе части:
|
dy |
|
|
|
1 |
dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
|
|
|
|
||||||
|
dy |
|
|
|
1 2 dy |
y 1 2 1 |
2 y1 2 |
|
||||
|
|
|
y |
2 |
y |
, |
||||||
|
|
|
|
1 2 1 |
||||||||
|
y |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1x dx ln x C ,
приравниваем полученные выражения и получаем ответ: 2 y ln x C
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 y 1 5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dy |
|
ln x |
|
|
|
|
|
dy |
ln x |
|
dx |
2 y 1 5 dy |
ln x |
dx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
dx |
x 2 y 1 5 |
|
|
x 2 y 1 5 |
x |
|||||||||||||||||
Переменные разделены, интегрируем: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 y 1 5dy |
ln x |
|
d x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 y 1 5dy |
1 |
2 y 1 6 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ln x |
|
|
u ln x |
|
|
u2 |
ln2 x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
d x |
du |
1 |
|
dx u du |
|
|
C |
|
C . |
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Ответ: 1 2 y 1 6 ln2 x C . 2 6 2
Дифференциальным уравнением (ДУ) 2-го порядка называется уравнение, содержащее вторую производную y неизвестной функции y f x , которую надо найти.
Рассмотрим решение уравнений y f x , допускающих понижение порядка. Путем интегрирования, последовательно находятся первая производная y , а затем функция y .
Пример 3. y sin5x ,
y sin 5x dx |
1 |
cos5x C1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
y |
|
|
|
|
|
|
cos 5x C |
dx |
|
|
|
cos 5x dx C |
|
dx |
|
|
|
|
|
sin x C x C |
|
|||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
5 5 |
1 |
2 |
ЗАДАЧА 4. Найти вероятности событий, используя классическое определение вероятности и формулы комбинаторики.
По классической формуле вероятность события А:
P( A ) m A , n
где |
n – общее число исходов в испытании, а m – число исходов, |
||||||||||
благоприятных для появления события А. |
|
|
|
||||||||
|
Пример 1. |
|
|
|
|||||||
|
Экзамен по математике сдавали 20 студентов, из них сдали 15 |
||||||||||
человек. Найти вероятности событий: а) студент |
сдал экзамен; |
||||||||||
б) студент не сдал экзамен. |
|
|
|
||||||||
|
а) Обозначим: событие А – студент сдал экзамен. Общее число |
||||||||||
исходов n 20 , число благоприятных исходов m A 15 . Тогда ве- |
|||||||||||
роятность того, что студент сдал экзамен P( A ) |
m A |
|
15 |
0,75. |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
20 |
|
|
|
б) Событие «студент не сдал экзамен» обозначим – А (не А). |
||||||||||
|
Общее число исходов также n 20 , число не сдавших студен- |
||||||||||
|
m |
|
5. Тогда вероятность P( |
|
) |
5 |
0,25. |
|
|
|
|
тов |
A |
A |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
20 |
|
|
|
|
|