2 семестр - Математика 2-ая контрольная

11

(книг), на второе – любой из оставшихся трех элементов, на третье – из двух, на четвертое – остается один элемент. Таким образом, число способов расстановки книг на полке равно 4 3 2 1 4! 24 – числу перестановок из всех четырех имеющихся элементов

( Р4 4!).

2) Во втором случае, выбираем две книги из четырех, имеем дело с комбинациями, в которые входят не все элементы из четырех, а только два элемента. Эти комбинации отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, причем порядок не важен. Число таких комбинаций определяется как число сочетаний из четырех элементов по два:

3) В третьем случае при расстановке трех книг на полке выбираем из четырех элементов по два элемента, но учитываем порядок этих выбранных элементов. Число комбинаций, отличающихся либо элементом, либо их порядком – это есть число размещений из четырех элементов по два:

Пример 3.

Имеются три разрезные буквы: М, Л, Е. Буквы перемешиваются, и случайным образом составляется слово. Найти вероятность, что получено слово «МЕЛ».

Найдем общее число исходов n. Три имеющиеся буквы переставляются, число комбинаций равно числу перестановок:

n P3 3! 1 2 3 6.

Благоприятный исход – получить заданное слово – один. То есть m 1.

Искомая вероятность P mn 16 .

12

Пример 4.

Из разрезных букв сложено слово «ЗАВОД». Из них наугад выбирается четыре буквы и составляется слово. Найти вероятность, что получено слово «ВОДА».

Найдем общее число исходов n. Из имеющихся пяти букв выбираем четыре, причем их порядок имеет значение. Число исходов найдем как число размещений

Благоприятный исход – получить заданное слово – один. То есть m 1.

Искомая вероятность P mn 1201 .

Пример 5.

В урне 3 белых и 4 черных шара, наугад достают 3 шара. Найти вероятности следующих событий:

1)А – все шары белые;

2)В – все шары черные;

3)С – все одного цвета;

4)D – есть ровно один белый шар, остальные – другого цвета;

5)Е – есть ровно два белых шара;

6)G – есть хотя бы два белых шара;

7)F – нет черного шара.

Решение.

Найдем общее число исходов. Вынимаем 3 шара из 7, порядок не имеет значения, используем формулу для подсчета сочетаний:

Найдем благоприятные исходы для каждого события и их вероятности.

1) А – все шары белые, то есть достают 3 белых шара из име-

13

3) С – все одного цвета, то есть или все белые, или все черные.

4) D – есть ровно один белый шар, остальные (два) – другого

цвета. В этом случае достают один белый шар из трех белых и два черных из четырех черных.

5) Е – есть ровно два белых шара. В этом случае достают два

белых шара из имеющихся трех белых и один черный шар из четырех черных.

6) G – есть хотя бы два белых шара означает, что есть два белых шара или больше. В данном случае: есть два белых шара и один черный или есть три белых шара.

ЗАДАЧА 5. Составить ряд распределения дискретной случайной величины, найти ее математическое ожидание и дисперсию.

Предварительно рассмотрим вероятность суммы и произведения событий.

Суммой двух событий А и В называется событие С, которое заключается в том, что произошло или событие А, или событие В, или оба эти события вместе. При этом вероятность суммы несов-

местных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р С Р А В Р А Р В .

Это положение иллюстрируется следующей ситуацией. Студент сдает экзамен на оценку «удовлетворительно» с вероятностью 0,5; на оценку «хорошо» с вероятностью 0,3; на оценку «отлично» с

14

вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен на «хорошо» или «отлично»? Здесь – событие А – получил «хорошо», а событие В – получил «отлично», и эти события не могут произойти одновременно, то есть они несовместны. Событие С – получил или «хорошо», или «отлично» является суммой событий А и В. Поэтому

Произведением двух событий А и В называется событие С, которое заключается в том, что произошло и событие А, и событие В, то есть оба эти события произошли вместе. Если события происходят независимо друг от друга, то вероятность их произведения рав-

на произведению вероятностей

Р С Р А В Р А Р В .

Например, известно, что студент получит зачет по математике с вероятностью 0,6, а зачет по иностранному языку с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что он получит оба зачета. Здесь событие А – студент получит зачет по математике, событие В – получит зачет по иностранному языку, и эти события независимые. Тогда событие С, которое заключается в том, что студент получит и пер-

вый зачет, и второй, есть С А В . Вероятность этого события

Р С 0,6 0,7 0,42.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное (но только одно) числовое значение, причем заранее, до опыта, не известно, какое именно.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами конца латинского алфавита – X, Y.

Дискретной, то есть прерывной, называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Например, дискретная случайная величина X – оценка на экзамене, может принимать значения 2, 3, 4, 5. Допустим, что вероятность получить «2» – P X 2 0,2 , вероятность получить «3» –

P X 3 0,4, P X 4 0,3, P X 5 0,1.

Рядом распределения дискретной случайной величины называется таблица, в которую записываются все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

xi 2 3 4 5

15

pi 0,2 0,4 0,3 0,1

Очевидно, что сумма вероятностей pi 1.

Для краткого описания случайной величины служат числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание равно среднему значению случайной величины, находится по формуле:

M X x1 pi x1 p1 x2 p2 ... xn pn .

Имеем: M X 2 0,2 3 0,4 4 0,3 5 0,1 3,3 балла.

Дисперсия служит для оценки разброса значений случайной величины относительно среднего значения, находится по формуле:

D X xi2 pi M x 2 .

D X 22 0,2 32 0,4 42 0,3 52 0,1 3,32 0,81.

Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются значения случайной величины от их среднего значения, находится по формуле:

X D X , имеет размерность случайной величины. Имеем: X 0,81 0,9 балла.

Пример 1.

Рабочий обслуживает два станка. В течение смены первый станок потребует внимания рабочего с вероятностью 0,2, второй – с вероятностью 0,3. Составить ряд распределения числа станков, потребовавших внимания рабочего в течение смены. Вычислить его числовые характеристики.

Решение. Дискретная случайная величина Х – число станков, потребовавших внимания рабочего, может принимать значения 0, 1,

2.

Обозначим событие Аi – внимание потребовал i-й станок, то-

16

X 0 : (и первый станок не потребовал внимания, и второй не потребовал) А1 А2 .

P( X 0) P( A1 A2 ) P( A1) P( A1) 0,8 0,7 0,56.

X 1: (первый потребовал и второй не потребовал, или наоборот) A1 A2 A1 A2 .

P( X 1) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 ) P( A2 )

0,2 0,7 0,8 0,3 0,14 0,24 0,38.

X 2: (и первый потребовал внимания, и второй) А1 А2 .

P( X 2) P( A1) P( A2 ) 0,2 0,3 0,06.

Составим ряд распределения:

3

Контроль: pi 0,56 0,38 0,06 1.

i 1

Вычислим числовые характеристики. Математическое ожидание

n

М ( Х ) xi pi 0 0,56 1 0,38 2 0,06 0,5. i 1

Дисперсия

Пример 2.

Студент сдает три экзамена в сессию. Вероятность сдать математику равна 0,8; вероятность сдать физику – 0,7; вероятность сдать историю –0,9. Случайная величина X – число сданных в сессию экзаменов. Составить ряд распределения, найти числовые характеристики.

Решение.

Случайная величина может принимать значения X= 0, 1, 2, 3. Обозначим события: А1 – сдал математику (М), А2 – сдал фи-

17

зику (Ф), А3 – сдал историю (И). Соответственно имеем: А1 – не сдал математику, А2 – не сдал физику, А3 – не сдал историю.

Вероятности этих событий:

Р А1 0,8, Р А1 1 0,8 0,2 , Р А2 0,7, Р А2 1 0,7 0,3 ,

Р А3 0,9 , Р А3 1 0,9 0,1.

Найдем вероятности.

X 0: (ничего не сдал, то есть, не сдал М и не сдал Ф и не сдал И) А1 А2 А3.

Р X 0 0,2 0,3 0,1 0,006 .

X 1: (сдал один экзамен, то есть, сдал М и не сдал Ф и не сдал И, или не сдал М и сдал Ф и не сдал И, или не сдал М и не сдал Ф и сдал И)

А1 А2 А3 А1 А2 А3 А1 А2 А3

Р X 1 0,8 0,3 0,1 0,2 0,7 0,1 0,2 0,3 0,9 0,092 .

X 2: (сдал два экзамена, то есть сдал М и сдал Ф и не сдал И, или сдал М и не сдал Ф и сдал И,

или не сдал М и сдал Ф и сдал И).

А1 А2 А3 А1 А2 А3 А1 А2 А3 .

Р X 2 0,8 0,7 0,1 0,8 0,3 0,9 0,2 0,7 0,9 0,398 .

X 3: (все сдал, то есть, сдал М и сдал Ф и сдал И) А1 А2 А3.

Р X 3 0,8 0,7 0,9 0,504 .

Составим ряд распределения:

3

Контроль: pi 0,006 0,092 0,398 0,504 1. i 1

Вычислим числовые характеристики. Математическое ожидание

18

n

М ( Х ) xi pi 0 0,006 1 0,092 2 0,398 3 0,504 2,4. i 1

Дисперсия

D X xi2 pi M X 2

02 0,006 12 0,092 22 0,398 32 0,504 2,42 0,46.

Среднее квадратическое отклонение

( X ) D( Х ) 0,46 0,68.

Пример 3. Выпускник вуза хочет устроиться на работу на одно из 3 предприятий. Вероятность трудоустройства на каждое из них равна 0,6. Случайная величина X – число предприятий, которое посетил студент, причем, если студента взяли на работу на одном предприятии, на другое он уже не идет. Составить закон распределения случайной величины X.

Решение. Случайная величина Х может принимать значения X 1, 2, 3. Пусть событие А – студента взяли на работу, A – не взяли (противоположное событие).

Вычислим вероятность значений случайной величины:

X 1 – студента взяло на работу первое предприятие.

P( X 1) P( À) 0,6 .

X 2 – на первом предприятии отказали и взяли на втором.

P( X 2) P( A À) 0,4 0,6 0,24.

X 3 – на первом предприятии отказали, и на втором отказали, и взяли на третьем; или на всех трех отказали.

P( X 3) P( A A À A A À) 0,4 0,4 0,6 0,4 0,4 0,4 0,16.

Ряд распределения

3

Контроль: pi 0,6 0,24 0,16 1.

i 1

Математическое ожидание

n

М ( Х ) xi pi 1 0,6 2 0,24 3 0,16 1,56. i 1

Дисперсия

19

D X xi2 pi M X 2

12 0,6 22 0,24 32 0,16 1,562 0,5664.

Среднее квадратическое отклонение

( X ) D( Х ) 0,5664 0,75.

ЗАДАЧА 6. Найти среднее значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для выборок.

Пример.

а) X – зарплата работников, X 10,12, 20, 25 тыс. руб. Выборка несгруппированная, найдем требуемые характери-

б) Три работника получают по 10 тыс. руб., пять работников – по 15 тыс. руб, два – по 30 тыс. руб.

Выборка сгруппированная, найдем требуемые характеристики по следующим формулам.