графоаналитическим (преимущественно, в модели с зависимостью от одного фактора) или аналитическим методом. Наиболее мощным аналитическим методом является метод, разработанный в 1795-1805 гг. Лежандром и Гауссом
иполучивший название регрессионного анализа или метода наименьших квадратов (МНК).
По конечной цели построения эконометрических моделей могут быть разделены на две основные:
1)выявление закономерностей и взаимосвязей для экономических явлений
иобъектов на основе эмпирических данных;
2) подтверждение |
и |
проверка |
экономических . |
Здтесьорий |
эконометрические |
модели |
играют |
«рольэкспериментальной |
части |
исследования», аналогично естественнонаучным направлениям. Эконометрические модели не уникальны. Аналогичные модели строятся
и в технических науках, и в биологии (медицине), и в метеорологии. Перечень отраслей знания можно продолжать и продолжать.
Рассмотрим основные положения эконометрики и эконометрические модели.
1. Основные положения эконометрики
1.1 Эконометрическая модель с двумя переменными – модель парной регрессии
Пусть экономист располагает набором наблюдаемых экономических
показателей |
{X t } и |
{Yt } |
t = 1,2,....n |
связанных |
причинно-следственной |
|||||
зависимостью. Связь значений {X t } и |
{Yt } можно отобразить геометрически |
|||||||||
на плоскости. |
Таким |
образом, |
будет |
получено |
графическое |
изображение |
||||
эмпирической |
зависимости |
Yt |
от X t . Нашей |
задачей является построить |
||||||
формальный |
вид зависимости |
показателяYt от показателя X t (фактора), |
т.е. |
|||||||
подобрать функцию |
f ( X t ) , так, |
чтобы «наилучшим» |
образом |
описать |
эту |
|||||
зависимость. В геометрическом смысле - необходимо провести некую кривую (прямую) таким образом, чтобы она наиболее близко подходила ко всем точкам построенной эмпирической зависимости. Эту процедуру часто называют
^
«подгонкой кривой». Значения Y = f ( X t ) обычно называют модельными.
Как уже было сказано во введении наиболее мощным аналитическим методом, позволяющим решить эту задачу, является метод наименьших квадратов (далее МНК) (подробнее см. Приложение 1). Для этого метода мерой «близости» наблюдаемых значений экономических показателей и «модельных» значений является функционал
7
F = å(Yt - f ( X t )) 2 .
t
Откуда условием «хорошей подгонки кривой» будет являться
F = å(Yt - f ( X t )) 2 ® min .
t
Рассмотрим ситуацию, когда предполагается линейная зависимость между наблюдаемыми экономическими показателями {X t } и {Yt } t = 1,2,....n
Yt = a + bX t .
Для этой зависимости Yt является объясняемой (или зависимой) переменной, X t - объясняющей переменной (или фактором).
Дальнейшее определение параметров из следующих предположений:
- |
экономические показатели {X t } и {Yt } связаны зависимостью |
|||
|
Yt = a + bX + e t ; |
|
(1.1) |
|
- |
значения вектора {X t } являются детерминированными; |
|
||
- |
значения |
{et }, называемые |
ошибкой (или |
возмущением), и |
соответственно {Yt }, являются случайными;
- предполагается, что ошибка для каждого наблюдения является нормально
распределенной величиной, описываемой |
стандартным распределением |
N (0,s 2 ) , причем |
|
M [et ]= 0 , |
(1.2) |
D[et ]= s 2 , |
(1.3) |
cov(et , et -1 ) = 0 . |
(1.4) |
Совокупность предположений и ограничений, принятых при моделировании
носит название спецификации модели. Модель (1.1) |
имеет название |
классической нормальной регрессионной модели. Уравнение связывающие |
|
значения |
экономического |
|
Y |
со |
|
значениями |
объясняющего |
||||
показателя t |
|
||||||||||
параметра X t |
(фактора) |
называют эконометрическим |
уравнением или |
||||||||
уравнением регрессии (регрессией). |
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким |
|
образом, |
мы |
предполагаем, что |
наблюдаемые |
значения |
|||||
объясняющей |
переменной |
{X t } |
не являются |
случайными. Закономерность, |
|||||||
связывающая |
влияние |
изменения |
величины{X t } |
|
на |
изменение |
|||||
экономического параметра, |
{Yt } |
может |
быть |
описана |
линейной |
функцией. |
|||||
Однако реально функциональной зависимости для показателей не наблюдается. Это происходит потому, что реальные экономические объекты(субъекты) функционируют в неодинаковых условиях. Возникающие в следствии этих
неодинаковых условий ошибки, {et } приводят к случайности наблюдаемой
8
величины показателя {Yt }. Величина «ошибки» {et }параметра {Yt } не наблюдаемы (т.е. мы не можем определить их величину) и определяется множеством независимых друг от друга фактор. Повэтому мы можем предположить, что ошибка является случайной нормально распределенной
величиной. |
Влияние |
ошибки |
вызывает |
|
отклонение |
значения{Y } от |
их |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
реального |
|
представления, как |
в |
сторону |
уменьшения, так |
и |
в |
сторону |
||||||
возрастания. Поэтому среднее значение(математическое ожидание) ошибки |
||||||||||||||
логично предположить равным нулю. Условие (1.4) предполагает, что ошибки |
||||||||||||||
для разных наблюдений статистически не связаны друг с другом. Т.е. значение |
||||||||||||||
пары X 1 и Y1 |
не влияют на значение пары X 2 |
и Y2 . Применительно к экономике |
||||||||||||
такое допущение означает, что все наблюдаемые объекты функционируют в |
||||||||||||||
едином экономическом пространстве и испытывают сходное влияние. Но |
||||||||||||||
экономические (социальные, финансовые) |
показатели |
одного |
объекта не |
|||||||||||
зависят от тех же показателей другого объекта. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
^ ü |
|
|
|
|
|
Подобранная функциональная зависимость íY t ý является лишь оценкой |
||||||||||||||
|
экономических показателей {Yt }. |
|
î |
þ |
|
|
|
|
|
|||||
реальных |
Отклонение модельных значений |
|||||||||||||
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от наблюдаемых - |
et = Y t - Yt - |
называют |
или |
ошибкой, |
или |
остатком |
||||||||
регрессии, |
|
или |
невязкой регрессии. Значение |
параметров |
модели a |
и |
b |
|||||||
являются |
случайными |
величинами. |
Оценки |
|
значений a |
и |
b - |
^ |
и |
^ |
||||
|
a |
b , |
||||||||||||
полученные по методу наименьших квадратов ,МНКявляются наиболее
эффективными.. |
В |
соответствии с |
теоремой Гаусса-Маркова(см. |
теорему |
|||||
например в [1], |
[2]) они |
|
являются |
несмещенными и |
имеют |
наименьшую |
|||
дисперсию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M[a] = a , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M [b] = b , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
^ |
|
s 2 |
|
|
|
|
|
|
|
D[b] = sb2 |
|
|
|
|
, |
|
|
(1.5) |
|
|
|
_ |
|
|
|
||||
|
å(X t - X ) 2 |
|
|
|
|||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
2 |
|
|
|
|
|
|
^ |
|
s |
å X t2 |
|
|
|
|||
D[a] = sa2 = |
|
t |
|
, |
|
|
|
||
|
|
_ |
|
|
|
||||
|
|
nå( X t - X ) 2 |
|
|
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где X - среднее значение экономического показателя {X t };s^ |
- статистическая |
||||||||
оценка дисперсии ошибок |
{et }. |
|
|
|
|||||
9
^
Несмещенной оценкой дисперсии ошибок s является остаточная дисперсия
ået2
s 2 = t |
(1.6) |
n - 2 . |
|
Выбор |
формального |
|
вида |
|
|
Y |
от |
X |
t , |
|
определение |
||||||||||||||||||||
|
|
зависимостиt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ограничений построенной модели и ее параметровa |
и b |
|
|
еще |
не означает |
|||||||||||||||||||||||||||
завершения эконометрического моделирования. Необходимо оценить качество |
||||||||||||||||||||||||||||||||
построенной |
модели. |
Для |
этого |
определяют |
насколько |
|
вероятно, что |
|||||||||||||||||||||||||
полученная модель близка к истинному виду |
|
|
зависимости |
изучаемы |
||||||||||||||||||||||||||||
экономических показателей. Для оценки «качества» эконометрической модели |
||||||||||||||||||||||||||||||||
используют три основных расчетных показателя: t- статистику |
( t - |
критерий), |
||||||||||||||||||||||||||||||
R 2 - коэффициент детерминации; |
F - статистику ( F - критерий). Все указанные |
|||||||||||||||||||||||||||||||
показатели реализованы в любом из статистических программных пакетов. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Оценка t-статистики основывается на проверке |
гипотезыb =0, a =0 т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||||
оценке |
того, |
что |
фактические |
значения t - |
статистик |
для |
|
коэффициентов- |
||||||||||||||||||||||||
tb = |
b |
, ta = |
a |
|
- меньше некоторого критического значения. Выполнение этого |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Sa |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Sb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||||||
условия |
означает, |
что |
с |
вероятностьюa - |
P( |
£ tск ) =a , P( |
£ tск ) =a |
- |
||||||||||||||||||||||||
|
Sb |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sa |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
значения |
коэффициентов |
регрессии |
равны0. |
Если |
|
|
|
|
³ tcr , |
|
|
b |
|
³ tcr , |
то |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Sa |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sb |
|
|
||||
первоначальная |
гипотеза |
b =0, |
|
a =0 |
отклоняется. В этом |
|
случае |
мы можем |
||||||||||||||||||||||||
считать, |
что с заданной вероятностью a коэффициенты регрессии не нулевые |
|||||||||||||||||||||||||||||||
и, следовательно, |
функциональная |
модельная |
зависимостьдействительно |
|||||||||||||||||||||||||||||
существует. Причем если tb , ta > 2 , то коэффициенты регрессии не равны 0 с вероятностью 90-95%. Уже в этом случае можно считать модель является качественной, или значимой. Если tb , ta > 3, то коэффициенты регрессии не равны 0 с вероятностью 99%.
Может случиться так, что значение ta меньше указанных критических значений. Тогда можно осуществлять оценивание уравнение регрессии без свободного члена. Однако если t - статистика не превышает критических значений, то невозможно отклонить гипотезу b =0, и модель не значима.
F -статистика (другое название - F -критерий Фишера) – показатель дисперсионного анализа. При статистической обработке серий данных(серий экспериментов, выборок данных) F - критерий оценивает соотношение дисперсий двух выборок. Если фактическое значение Fфактич - критерия выше
некого критического значения Fкритич , то считают, что обе рассматриваемые выборки принадлежат одной генеральной совокупности.
10
Для эконометрического моделирования F - статистика оценивается как соотношение факторной дисперсии и остаточной дисперсии
^-
(n - m -1)å(Y t - Y ) 2
F = |
t |
, |
^ |
||
|
må(Yt - Yt ) 2 |
|
|
t |
|
где m – число переменных в регрессионной модели, n – общее объем выборки. Для парной регрессионной модели m=1 и
^-
(n - 2)å(Y t - Y ) 2
F = |
t |
. |
(1.7) |
^ |
å(Yt - Yt ) 2
t
Таким образом, оценивается соотношение доли дисперсии, объясненной регрессией, к дисперсии ошибок регрессии. Из (1.7) следует, что чем
|
^ |
|
«качественнее» модель |
- меньше значения ошибокet = Y t - Yt , |
тем выше |
значение Fфактич . F - статистика является показателем, оценивающим качество |
||
модели в целом. Связь |
между F -статистикой и t -статистикой |
выражается |
равенством |
|
|
tb = 
F .
Важнейшим показателем оценки качества эконометрической модели является коэффициент детерминации. Обозначается этот показатель R 2 и может быть определен любым из двух выражений
^-
å(Y t - Y ) 2
R 2 |
= |
t |
|
; |
|
(1.8) |
|
|
- |
||||||
|
|
å(Yt - Yt ) 2 |
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
||
R 2 |
|
|
å(Yt - Y t ) 2 |
|
|||
=1 - |
t |
|
|
||||
- . |
(1.9) |
||||||
|
|
|
|||||
å(Yt - Yt ) 2
t
Коэффициент детерминации может принимать значения0 £ R 2 £1. Если коэффициент детерминации равен1, то модельные значения полностью совпадают с наблюдаемыми. Наблюдаемые значения экономического показателя (значения объясняющей переменной) располагаются вдоль линии
^
регрессии и соответственно et = Y t - Yt º 0 . Если R 2 = 0 , то доля дисперсии, объясняемой регрессией равна нулю, и модель не соответствует наблюдаемым показателям, т.е. не значима.
11
Теперь, когда мы определили параметры эконометрической модели, провели статистическим методами оценку качества построенной модели– ее значимость, нашу задачу можно считать завершенной. Следующий этап – экономическая интерпретация полученных результатов и выводы.
1.2 Уравнение регрессии в логарифмической форме
|
Особое значение в эконометрике имеет экономическая интерпретация |
|
||||||||||||||||||||||||||
результатов |
|
моделирования. |
При |
использовании |
экономических |
показателей |
|
|||||||||||||||||||||
{X t } |
и {Yt } |
|
в |
абсолютном |
значении |
каждая |
из |
|
объясняющих переменных |
|
||||||||||||||||||
(факторов) является именованной |
величиной (измеряются в соответствующих |
|
||||||||||||||||||||||||||
единицах). Коэффициенты эконометрической модели (регрессии) имеют смысл |
|
|||||||||||||||||||||||||||
изменения |
|
|
объясняемого |
параметра |
от |
среднего |
|
значения |
при |
изменения |
||||||||||||||||||
фактора на единицу измерения от среднего значения, иными словами «скорости |
|
|||||||||||||||||||||||||||
изменения |
|
|
объясняемого параметра при измененииобъясняющего |
на |
|
|||||||||||||||||||||||
единицу». Однако в экономике принято оценивать показатели в относительных |
|
|||||||||||||||||||||||||||
величинах |
|
|
– |
процентах. |
|
Поэтому |
|
многие |
|
|
аналитики |
используют |
||||||||||||||||
логарифмическую |
форму |
|
исходных |
экономических |
данных. Рассмотрим |
|
||||||||||||||||||||||
парную линейную регрессию в логарифмической форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
log Yt |
= a + b log X t + e t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.10) |
|
|
||||||||||
где |
log Yt |
, |
|
log X t |
- |
логарифмы |
|
значений |
экономических |
показателей. |
|
|||||||||||||||||
Продифференцируем уравнение (1.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
dY |
= b |
dX |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b = |
dY |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dX |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dY |
|
DY |
|
|
|
|
|||
и имеет |
смыслэластичности |
функции. Отношение |
|
@ |
представляет |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Y |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
||
собой ничто иное, как процентное изменение объясняемого экономического |
|
|||||||||||||||||||||||||||
показателя. |
|
|
Соответственно |
|
dX |
@ |
DX |
представляет |
|
|
|
собой |
процентное |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изменение |
|
|
|
фактора. |
Понятие |
|
эластичности |
|
широко |
|
используется |
в |
||||||||||||||||
экономическом |
анализе |
для |
|
,тогочтобы |
определить |
|
степень |
реакции |
|
|||||||||||||||||||
(«чуткости») одной переменной в ответ на изменение другой. Коэффициент |
|
|||||||||||||||||||||||||||
эластичности показывает, на сколько процентов изменяется величинаy |
при |
|
||||||||||||||||||||||||||
изменении величины x |
на один процент. Таким образом, в случае построения |
|
||||||||||||||||||||||||||
линейных моделей модель в логарифмической форме наилучшим образом соответствует экономическим задачам.
12