- •Модуль 1. Элементы теории чисел Глава 1.1. Целые числа §1.1.1. Теория делимости
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.2 Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.3 Теорема о линейном представлении наибольшего общего делителя
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.4 Наименьшее общее кратное
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.5 Простые числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.6 Основная теорема арифметики кольца целых чисел
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.7 Целая часть числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.8 Функция Эйлера
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.9 Сравнения
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.10 Полная система вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.11 Приведенная система вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.12 Теорема Эйлера
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.13 Кольцо классов вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.14 Решение сравнений
- •Упражнения и задачи
- •Контрольная работа №1 по теме “Целые числа”
- •I вариант
- •II вариант
- •III вариант
- •IV вариант
- •V вариант
- •VI вариант
- •VII вариант
- •VIII вариант
- •IX вариант
- •X вариант
- •XI вариант
- •XII вариант
- •XIII вариант
- •XIV вариант
- •XV вариант
- •XVI вариант
- •XVII вариант
- •XVIII вариант
- •XIX вариант
- •XX вариант
- •XXI вариант
- •XXII вариант
- •XXIII вариант
- •XXIV вариант
- •XXV вариант
- •XXVI вариант
- •XVII вариант
- •XXVIII вариант
- •XXIX вариант
- •XXX вариант
- •Глава 1.2. Комплексные числа и комплексные функции
- •§1.2.1 Алгебраическая форма комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.2 Комплексно сопряженные числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.3 Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.5 Формула Муавра
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.6 Модуль комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.7 Извлечение корня из комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.8 Корни из 1
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.9 Показательная форма записи комплексного числа
- •Упражнения и задачи
Упражнения и задачи
Доказать, что если то классвобратим.
Доказать, что кольцо классов вычетов по простому модулю без делителей нуля, а по составному модулю - с делителями нуля.
Решить уравнение по модулю 13.
Решить уравнение по модулю 12.
Составить таблицы сложения и умножения по модулю 15.
§1.1.14 Решение сравнений
Пусть – многочлен с целыми коэффициентами.Решить сравнение– это значит найти все значения переменнойх, удовлетворяющие этому сравнению.
Если сравнению удовлетворяет какое-либо значение переменнойх, то этому сравнению удовлетворяют и все числа, сравнимые спо модулют, т.е. все числа, составляющие один класс вычетов по модулют, которому принадлежит. Договоримся считать, что каждый класс образует одно решение. Следовательно, решить сравнение – значит найти все классы чисел, удовлетворяющих сравнению.
Пример1.Путем испытания наименьших неотрицательных вычетов найти решения сравнения
Решение:
Ответ:решениями сравнения являются все числа видаи
Пример2.Решить сравнение
Решение:
х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
Ответ:11.
Другое решение основано на использовании теоремы Эйлера :
Можно к обеим частям сравнения прибавить число 15. Тогда .
Пример.Решить сравнение.
Решение: После сокращения на 5 получим . Сравнение имеет следующие решения:,
.
Пример.Решить систему сравнений
Решение системы сводится к решению каждой из трех систем:
В первой системе ,,.
Аналогично, решая остальные системы, получим ответ: илиили.
Пример.Решить систему сравнений
Решение: ,.
Ответ: .
Упражнения и задачи
Решить сравнения:
а) б)
в) г)
д) е)
ж) з)
Решить систему:
а) б)
Контрольная работа №1 по теме “Целые числа”
I вариант
Найдите каноническое представление числа:
а) 92772757 ; б) 40!.
Найдите наибольший общий делитель систем чисел:
а) 105369 и 4991 (по алгоритму Евклида);
б) 216270, 192329 и 178178 (через каноническое представление).
Найдите наименьшее общее кратное систем чисел:
а) 720 и 1512 (по формуле);
б) 96, 64 и 20 (через каноническое представление чисел).
Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для числа n= 343343.
Дано: (n) = 3600,n=. Найдитеn.
Найдите две последние цифры числа 1761.
Решите сравнение:
а) , б).
Решите систему сравнений:
Докажите, что если , то наибольший общий делитель чиселиравен либо 1, либо 2.
Докажите, что делится на 10.
II вариант
Найдите каноническое представление числа:
а) 97363981 ; б) 19!.
Найдите наибольший общий делитель систем чисел:
а) 62510 и 23731 (по алгоритму Евклида);
б) 454532, 174820 и 82287 (через каноническое представление).
Найдите наименьшее общее кратное систем чисел:
а) 180 и 504 (по формуле);
б) 28, 22 и 44 (через каноническое представление чисел).
Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для числа n= 225225.
Решите уравнение: () = 2500.
Найдите две последние цифры числа 7114.
Решите сравнение:
а) , б).
Решите систему сравнений:
Докажите, что если , то наибольший общий делитель чиселиравен либо 1, либо 19.
Найдите наибольшее трехзначное число, при делении которого на 4 получается в остатке 3, при делении на 5 в остатке 4, при делении на 6 в остатке 5.