Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Пак - Целые числа,Комплексные числа.doc
Скачиваний:
99
Добавлен:
01.05.2015
Размер:
5.09 Mб
Скачать

Упражнения и задачи

  1. Найти корни уравнений:

а) б)

  1. Доказать тождества:

а)

б)

  1. Выразить в радикалах корни из 1 степеней 3, 4, 6, 8, 12.

  2. Вычислить сумму s-xстепеней всех корней степенипиз 1, гдеs– целое число.

§1.2.9 Показательная форма записи комплексного числа

Пусть – действительное число. Полагаем

(1)

Эта формула называется формулой Л. Эйлера. Она не доказывается, а принимается в качестве определения символаТакое определение оправдано тем, что сохраняются основные свойства действительных показателей. Здесье– основание натуральных логарифмов,. Для любого комплексного числавновь полагаем:

(2)

Эта формула не приведет к противоречию в случае, когда z– действительное число, со свойствами возведения действительного числа в действительную степень.

Основные свойства возведения в комплексную степень:

С помощью формулы Эйлера комплексное число можно записать в показательной форме:

(3)

где r– модуль числаz, а– его аргумент. При этом формула Муавра принимает вид:

Корни п-ой степени из числаzполучают вид:

Замена нав формуле Эйлера дает формулу:

Отсюда легко получаем

Пример.Выразить через косинусы углов кратныха)б)

Решение:а)

б)

Упражнения и задачи

Определить вид кривых, заданных следующими уравнениями:

Контрольная работа №2 по теме “Комплексные числа”

I вариант

  1. Вычислите:

а) (2 + 5i )3; б).

  1. Решите уравнение: .

  2. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б).

  1. Решите уравнение: а) ; б).

  2. Пусть , где. Докажите, чтоw– чисто мнимое тогда и только тогда, когда.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

  4. Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

  5. Найдите сумму:

.

II вариант

  1. Вычислите:

а) ; б).

  1. При каких комплексных zвыраженияиодновременно имеют действительные значения?

  2. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б).

  1. Решите уравнение: а) ; б).

  2. Для каких целых n?

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

  4. Выразите через.

  5. Найдите сумму:

.

III вариант

  1. Вычислите:

а) б).

  1. При каких действительных xиyчислаибудут комплексно сопряженными?

  2. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б).

  1. Решите уравнение: а) ; б).

  2. Вычислите z1971+, если.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

  4. Выразите через.

  5. Найдите сумму:

.

IV вариант

  1. Вычислите:

а) б).

  1. Найдите действительные значения x, при которых комплексные числаиявляются сопряженными.

  2. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б).

  1. Решите уравнение: а) б).

  2. Вычислите z1971+, если.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

  4. Выразите через.

  5. Найдите сумму:

.

V вариант

  1. Вычислите:

а) ; б).

  1. При каких действительных хиучислаибудут комплексно сопряженными?

  2. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б).

  1. Решите уравнения: а) ; б).

  2. Докажите, что а) ; б); в).

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

  4. Выразить через.

  5. Найдите сумму:

.

VI вариант

  1. Вычислите: а) ; б).

  2. Решите уравнение: .

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:

а) ; б).

  1. Решите уравнения: а) ; б).

  2. Докажите, что а) ; б); в).

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

  4. Выразите через.

  5. Найдите сумму: .

VII вариант

  1. Вычислите: а) ; б).

  2. Решите уравнение: .

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:

а) ; б).

  1. Решите уравнения: а) ; б).

  2. Если – корень многочлена с действительными коэффициентами, то и число, сопряженное числу, также корень этого многочлена. Докажите это.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

  4. Выразите через.

  5. Найдите сумму: .

VIII вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите уравнение: .

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:

а) ; б).

  1. Решите уравнения: а) ; б).

  2. Если – действительные число, то, где. Докажите это.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

  4. Выразите через.

  5. Найдите сумму: .

IX вариант

  1. Вычислите: а); б) .

  2. Найдите, при каких комплексных значениях k уравнение.

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:

а) ; б).

  1. Решите уравнения: а) ; б).

  2. Докажите, что , если,

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

  4. Выразите через.

  5. Найдите сумму: .

X вариант

  1. Вычислите: а) ; б).

  2. Решите уравнение: .

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б).

  1. Решите уравнения: а) , б).

  2. Докажите свойства модуля комплексного числа:

а) , б).

  1. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

  2. Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

  3. Найдите сумму: .

XI вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите уравнение: .

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б).

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Докажите свойства модуля комплексного числа:

а), б).

  1. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

  2. Выразите через.

  3. Найдите сумму: .

XII вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите уравнение: .

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) б)

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Докажите, что если комплексное число удовлетворяет соотношению, то наибольшее возможное значение его модуля равно.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых

  4. Выразите через.

  5. Докажите, что .

XIII вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите уравнение: .

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а)б)

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Вычислите выражение , еслиесть корень уравнения.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите через.

  5. Докажите, что .

XIV вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите уравнение:.

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а)б)

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Пусть . Докажите, чтоитогда и только тогда, когда, где.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите через.

  5. Найдите сумму .

XV вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите уравнение:.

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а)б)

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Пусть . Докажите, чтоитогда и только тогда, когда, где.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите через.

  5. Докажите, что .

XVI вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Найдите, при каких комплексных значениях kуравнениеимеет разные корни.

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а) ; б)

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Докажите, что .

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите через.

  5. Найдите сумму: .

XVII вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Найдите все комплексные числа хиутакие, что числаx, 2x+y, 2x+yобразуют арифметическую прогрессию, а числаобразуют геометрическую прогрессию.

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б)

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Выясните, при каких условиях произведение двух комплексных чисел а)чисто мнимое число, б) вещественное число.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите через.

  5. Докажите, что .

XVIII вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Найдите все числа, сопряженные своему квадрату

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а)б)

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Докажите, что .

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите через.

  5. Докажите, что:

.

XIX вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Найдите все числа, сопряженные своему кубу.

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б).

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Докажите, что .

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

  5. Докажите, что:

.

XX вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите систему, считая, что x, y, z, tвещественные:

  1. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б).

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Упростите выражение: .

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

  5. Докажите, что.

XXI вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите систему:

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б).

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Докажите равенство: .

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите через тригонометрические функции кратных углов.

  5. Докажите, что.

XXII вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите систему: .

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б).

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Докажите, что икомплексно сопряженные тогда и только тогда, когда+и– действительные числа.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите черези.

  5. Найдите сумму: .

XXIII вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите систему: .

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б).

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Докажите равенство: .

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите черези.

  5. Найдите сумму: .

XXIV вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите уравнение: .

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б).

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Докажите, что корни уравнения могут быть записаны в виде.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите черези.

  5. Найдите сумму: .

XXV вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите уравнение: .

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б).

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Найдите сумму p-x степеней корней уравнения, гдеp– целое.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите черези..

  5. Найдите сумму:.

XXVI вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите систему:

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б).

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Докажите, что , если.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите черези..

  5. Найдите сумму: .

XXVII вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите систему:

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б).

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Где расположены точки на числовой плоскости, для которых (z– комплексное число)?

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите черези..

  5. Найдите сумму: .

XXVIII вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите систему:

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б).

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Найдите порядки всех корней из единицы 12 степени.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых.

  4. Выразите черези.

  5. Найдите сумму: .

XXIX вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите систему:

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б).

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Докажите, что если – первообразный кореньn-той степени из 1, то и– первообразный кореньn-той степени из 1.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите черези.

  5. Найдите сумму: .

XXX вариант

  1. Вычислите: а); б).

  2. Решите уравнение: .

  3. Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:

а); б).

  1. Решите уравнения: а), б).

  2. Найдите порядки всех корней из 1 степени 20.

  3. Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .

  4. Выразите через.

  5. Найдите сумму: .