- •Модуль 1. Элементы теории чисел Глава 1.1. Целые числа §1.1.1. Теория делимости
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.2 Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.3 Теорема о линейном представлении наибольшего общего делителя
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.4 Наименьшее общее кратное
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.5 Простые числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.6 Основная теорема арифметики кольца целых чисел
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.7 Целая часть числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.8 Функция Эйлера
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.9 Сравнения
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.10 Полная система вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.11 Приведенная система вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.12 Теорема Эйлера
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.13 Кольцо классов вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.14 Решение сравнений
- •Упражнения и задачи
- •Контрольная работа №1 по теме “Целые числа”
- •I вариант
- •II вариант
- •III вариант
- •IV вариант
- •V вариант
- •VI вариант
- •VII вариант
- •VIII вариант
- •IX вариант
- •X вариант
- •XI вариант
- •XII вариант
- •XIII вариант
- •XIV вариант
- •XV вариант
- •XVI вариант
- •XVII вариант
- •XVIII вариант
- •XIX вариант
- •XX вариант
- •XXI вариант
- •XXII вариант
- •XXIII вариант
- •XXIV вариант
- •XXV вариант
- •XXVI вариант
- •XVII вариант
- •XXVIII вариант
- •XXIX вариант
- •XXX вариант
- •Глава 1.2. Комплексные числа и комплексные функции
- •§1.2.1 Алгебраическая форма комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.2 Комплексно сопряженные числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.3 Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.5 Формула Муавра
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.6 Модуль комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.7 Извлечение корня из комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.8 Корни из 1
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.9 Показательная форма записи комплексного числа
- •Упражнения и задачи
Упражнения и задачи
Найти корни уравнений:
а) б)
Доказать тождества:
а)
б)
Выразить в радикалах корни из 1 степеней 3, 4, 6, 8, 12.
Вычислить сумму s-xстепеней всех корней степенипиз 1, гдеs– целое число.
§1.2.9 Показательная форма записи комплексного числа
Пусть – действительное число. Полагаем
(1)
Эта формула называется формулой Л. Эйлера. Она не доказывается, а принимается в качестве определения символаТакое определение оправдано тем, что сохраняются основные свойства действительных показателей. Здесье– основание натуральных логарифмов,. Для любого комплексного числавновь полагаем:
(2)
Эта формула не приведет к противоречию в случае, когда z– действительное число, со свойствами возведения действительного числа в действительную степень.
Основные свойства возведения в комплексную степень:
С помощью формулы Эйлера комплексное число можно записать в показательной форме:
(3)
где r– модуль числаz, а– его аргумент. При этом формула Муавра принимает вид:
Корни п-ой степени из числаzполучают вид:
Замена нав формуле Эйлера дает формулу:
Отсюда легко получаем
Пример.Выразить через косинусы углов кратныха)б)
Решение:а)
б)
Упражнения и задачи
Определить вид кривых, заданных следующими уравнениями:
Контрольная работа №2 по теме “Комплексные числа”
I вариант
Вычислите:
а) (2 + 5i )3; б).
Решите уравнение: .
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а) ; б).
Решите уравнение: а) ; б).
Пусть , где. Докажите, чтоw– чисто мнимое тогда и только тогда, когда.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите через тригонометрические функции кратных углов.
Найдите сумму:
.
II вариант
Вычислите:
а) ; б).
При каких комплексных zвыраженияиодновременно имеют действительные значения?
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а) ; б).
Решите уравнение: а) ; б).
Для каких целых n?
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите через.
Найдите сумму:
.
III вариант
Вычислите:
а) б).
При каких действительных xиyчислаибудут комплексно сопряженными?
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а) ; б).
Решите уравнение: а) ; б).
Вычислите z1971+, если.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите через.
Найдите сумму:
.
IV вариант
Вычислите:
а) б).
Найдите действительные значения x, при которых комплексные числаиявляются сопряженными.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а) ; б).
Решите уравнение: а) б).
Вычислите z1971+, если.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите через.
Найдите сумму:
.
V вариант
Вычислите:
а) ; б).
При каких действительных хиучислаибудут комплексно сопряженными?
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а) ; б).
Решите уравнения: а) ; б).
Докажите, что а) ; б); в).
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразить через.
Найдите сумму:
.
VI вариант
Вычислите: а) ; б).
Решите уравнение: .
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:
а) ; б).
Решите уравнения: а) ; б).
Докажите, что а) ; б); в).
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите через.
Найдите сумму: .
VII вариант
Вычислите: а) ; б).
Решите уравнение: .
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:
а) ; б).
Решите уравнения: а) ; б).
Если – корень многочлена с действительными коэффициентами, то и число, сопряженное числу, также корень этого многочлена. Докажите это.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите через.
Найдите сумму: .
VIII вариант
Вычислите: а); б).
Решите уравнение: .
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:
а) ; б).
Решите уравнения: а) ; б).
Если – действительные число, то, где. Докажите это.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите через.
Найдите сумму: .
IX вариант
Вычислите: а); б) .
Найдите, при каких комплексных значениях k уравнение.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи:
а) ; б).
Решите уравнения: а) ; б).
Докажите, что , если,
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите через.
Найдите сумму: .
X вариант
Вычислите: а) ; б).
Решите уравнение: .
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а) ; б).
Решите уравнения: а) , б).
Докажите свойства модуля комплексного числа:
а) , б).
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите через тригонометрические функции кратных углов.
Найдите сумму: .
XI вариант
Вычислите: а); б).
Решите уравнение: .
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б).
Решите уравнения: а), б).
Докажите свойства модуля комплексного числа:
а), б).
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите через.
Найдите сумму: .
XII вариант
Вычислите: а); б).
Решите уравнение: .
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а) б)
Решите уравнения: а), б).
Докажите, что если комплексное число удовлетворяет соотношению, то наибольшее возможное значение его модуля равно.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых
Выразите через.
Докажите, что .
XIII вариант
Вычислите: а); б).
Решите уравнение: .
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)б)
Решите уравнения: а), б).
Вычислите выражение , еслиесть корень уравнения.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите через.
Докажите, что .
XIV вариант
Вычислите: а); б).
Решите уравнение:.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)б)
Решите уравнения: а), б).
Пусть . Докажите, чтоитогда и только тогда, когда, где.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите через.
Найдите сумму .
XV вариант
Вычислите: а); б).
Решите уравнение:.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)б)
Решите уравнения: а), б).
Пусть . Докажите, чтоитогда и только тогда, когда, где.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите через.
Докажите, что .
XVI вариант
Вычислите: а); б).
Найдите, при каких комплексных значениях kуравнениеимеет разные корни.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а) ; б)
Решите уравнения: а), б).
Докажите, что .
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите через.
Найдите сумму: .
XVII вариант
Вычислите: а); б).
Найдите все комплексные числа хиутакие, что числаx, 2x+y, 2x+yобразуют арифметическую прогрессию, а числаобразуют геометрическую прогрессию.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б)
Решите уравнения: а), б).
Выясните, при каких условиях произведение двух комплексных чисел а)чисто мнимое число, б) вещественное число.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите через.
Докажите, что .
XVIII вариант
Вычислите: а); б).
Найдите все числа, сопряженные своему квадрату
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а)б)
Решите уравнения: а), б).
Докажите, что .
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите через.
Докажите, что:
.
XIX вариант
Вычислите: а); б).
Найдите все числа, сопряженные своему кубу.
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б).
Решите уравнения: а), б).
Докажите, что .
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите через тригонометрические функции кратных углов.
Докажите, что:
.
XX вариант
Вычислите: а); б).
Решите систему, считая, что x, y, z, tвещественные:
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б).
Решите уравнения: а), б).
Упростите выражение: .
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите через тригонометрические функции кратных углов.
Докажите, что.
XXI вариант
Вычислите: а); б).
Решите систему:
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б).
Решите уравнения: а), б).
Докажите равенство: .
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите через тригонометрические функции кратных углов.
Докажите, что.
XXII вариант
Вычислите: а); б).
Решите систему: .
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б).
Решите уравнения: а), б).
Докажите, что икомплексно сопряженные тогда и только тогда, когда+и– действительные числа.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите черези.
Найдите сумму: .
XXIII вариант
Вычислите: а); б).
Решите систему: .
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б).
Решите уравнения: а), б).
Докажите равенство: .
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите черези.
Найдите сумму: .
XXIV вариант
Вычислите: а); б).
Решите уравнение: .
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б).
Решите уравнения: а), б).
Докажите, что корни уравнения могут быть записаны в виде.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите черези.
Найдите сумму: .
XXV вариант
Вычислите: а); б).
Решите уравнение: .
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б).
Решите уравнения: а), б).
Найдите сумму p-x степеней корней уравнения, гдеp– целое.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите черези..
Найдите сумму:.
XXVI вариант
Вычислите: а); б).
Решите систему:
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б).
Решите уравнения: а), б).
Докажите, что , если.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите черези..
Найдите сумму: .
XXVII вариант
Вычислите: а); б).
Решите систему:
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б).
Решите уравнения: а), б).
Где расположены точки на числовой плоскости, для которых (z– комплексное число)?
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите черези..
Найдите сумму: .
XXVIII вариант
Вычислите: а); б).
Решите систему:
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б).
Решите уравнения: а), б).
Найдите порядки всех корней из единицы 12 степени.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых.
Выразите черези.
Найдите сумму: .
XXIX вариант
Вычислите: а); б).
Решите систему:
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б).
Решите уравнения: а), б).
Докажите, что если – первообразный кореньn-той степени из 1, то и– первообразный кореньn-той степени из 1.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите черези.
Найдите сумму: .
XXX вариант
Вычислите: а); б).
Решите уравнение: .
Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а); б).
Решите уравнения: а), б).
Найдите порядки всех корней из 1 степени 20.
Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
Выразите через.
Найдите сумму: .