- •Модуль 1. Элементы теории чисел Глава 1.1. Целые числа §1.1.1. Теория делимости
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.2 Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.3 Теорема о линейном представлении наибольшего общего делителя
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.4 Наименьшее общее кратное
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.5 Простые числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.6 Основная теорема арифметики кольца целых чисел
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.7 Целая часть числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.8 Функция Эйлера
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.9 Сравнения
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.10 Полная система вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.11 Приведенная система вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.12 Теорема Эйлера
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.13 Кольцо классов вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.14 Решение сравнений
- •Упражнения и задачи
- •Контрольная работа №1 по теме “Целые числа”
- •I вариант
- •II вариант
- •III вариант
- •IV вариант
- •V вариант
- •VI вариант
- •VII вариант
- •VIII вариант
- •IX вариант
- •X вариант
- •XI вариант
- •XII вариант
- •XIII вариант
- •XIV вариант
- •XV вариант
- •XVI вариант
- •XVII вариант
- •XVIII вариант
- •XIX вариант
- •XX вариант
- •XXI вариант
- •XXII вариант
- •XXIII вариант
- •XXIV вариант
- •XXV вариант
- •XXVI вариант
- •XVII вариант
- •XXVIII вариант
- •XXIX вариант
- •XXX вариант
- •Глава 1.2. Комплексные числа и комплексные функции
- •§1.2.1 Алгебраическая форма комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.2 Комплексно сопряженные числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.3 Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.5 Формула Муавра
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.6 Модуль комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.7 Извлечение корня из комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.8 Корни из 1
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.9 Показательная форма записи комплексного числа
- •Упражнения и задачи
XXVIII вариант
Найдите каноническое представление числа:
а) 24566003; б) 36!.
Найдите наибольший общий делитель систем чисел:
а) 82063 и 38223 (по алгоритму Евклида);
б) 1444373, 3087000 и 343343 (через каноническое представление).
Найдите наименьшее общее кратное систем чисел:
а) 415 и 620 (по формуле);
б) 34, 26 и 18 (через каноническое представление чисел).
Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для числа n= 55125.
Решите уравнение по модулю 12.
Докажите, что для любого натурального nчислоне делится на 9.
Решите сравнение:
а) , б).
Решите систему сравнений:
Найдите остаток от деления числа 3402на 101.
Докажите, что 111+211+411+511+711+8110 (mod9).
XXIX вариант
Найдите каноническое представление числа:
а) 64978641; б) 17!.
Найдите наибольший общий делитель систем чисел:
а) 29279 и 2747 (по алгоритму Евклида);
б) 52013269, 1101100 и 557700 (через каноническое представление).
Найдите наименьшее общее кратное систем чисел:
а) 290 и 436 (по формуле);
б) 44, 56, 82 и 16 (через каноническое представление чисел).
Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для числа n= 58653.
Выпишите приведенную систему наименьших неотрицательных вычетов по модулю 20.
Докажите, что для любых натуральных aиbимеет место равенство.
Решите сравнение:
а) , б).
Решите систему сравнений:
Некоторое натуральное четное число при делении на 3 дает в остатке 1. Чему равен остаток от деления этого числа на 6?
Найдите остаток от деления 2278613на 32.
XXX вариант
Найдите каноническое представление числа:
а) 57009953; б) 45!.
Найдите наибольший общий делитель систем чисел:
а) 86110 и 66817 (по алгоритму Евклида);
б) 37439215, 82500 и 55055 (через каноническое представление).
Найдите наименьшее общее кратное систем чисел:
а) 406 и 912 (по формуле);
б) 90, 60, 15 и 36 (через каноническое представление чисел).
Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для числа n= 30030.
Выпишите приведенную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 20.
Докажите, что для любых натуральных aиbимеет место равенство:.
Решите сравнение:
а) , б).
Решите систему сравнений:
Из десятичного разложения дроби (– простое число) вычеркнули 2000-ную цифру. В результате получилось десятичное разложение несократимой дроби. Докажите, чтоbделится наp.
Найдите три последние цифры числа 654321.
Глава 1.2. Комплексные числа и комплексные функции
Среди действительных чисел нет числа, квадрат которого равен -1, т.е. уравнение не имеет решений во множестве действительных чисел. С помощью комплексных чисел понятие числа расширяется так, что подобные уравнения оказываются разрешимыми. Понятие комплексного числа вошло в математику еще вXVIIIвеке. Функции комплексного переменного широко используются в аэро- и гидродинамике, электротехнике, теории упругости и т.д.
§1.2.1 Алгебраическая форма комплексного числа
Рассмотрим множество Cвсех пар действительных чиселДля них введем отношение равенства и действия сложения и умножения:
(1)
(2)
(3)
Например,
Отождествим пару (а,0) с числома. Это отождествление оправдано в силу согласования введенных действий с действиями над вещественными числами:
Можно заметить, что
и что пара (0,1) обладает удивительным свойством:
Для этой пары принято обозначение: (от французского словаimaginare) и называется онамнимой, т.е. воображаемой единицей. В новых обозначениях данное свойство можно переписать так:
(4)
Для пары имеемт.е.
(5)
Множество Сназываетсямножеством комплексных чисел, а выражениеназываетсяалгебраической формой записикомплексного числа. Приb= 0 комплексное числоявляется действительным числома, т.е.Это означает, что мы получили расширение множества действительных чисел, в котором уравнениеразрешимо, имеет кореньi. Легко увидеть, что отношение равенства, сложение и умножение, а также вычитание и деление запишутся в следующем виде:
(6)
(7)
(8)
(9)
где(10)
Заметим, что понятия "больше" и "меньше" для комплексных чисел не определяются, т.е. говорить о том, что одно комплексное число больше или меньше другого, нельзя, это лишено смысла.
Вычитаниевводится как действие обратное сложению.Разностьючиселназывается такое число, для которогоЛегко доказать, что разность двух комплексных чисел всегда существует и единственная.
Делениевводится как действие, обратное умножению.Частнымчиселиназывается такое числодля которогоЧастное существует и единственно всегда, когда делительВ практических вычислениях обычно не пользуются формулой (10), а поступают так:
Свойства арифметических операций:
– коммутативность сложения;
– ассоциативность сложения;
– коммутативность умножения;
– ассоциативность умножения;
– дистрибутивность умножения относительно сложения слева.
Все эти свойства легко доказать, используя аналогичные свойства действительных чисел. Следовательно, арифметические действия над комплексными числами можно проводить по правилам действительных чисел, лишь заменяя i2на -1 и объединяя отдельно члены, содержащиеiи не содержащиеi. Числааиbназывают соответственнодействительной имнимойчастью комплексного числа
Пример.Даны комплексные числаНайти: а) суммуб) разностьв) произведениег) частное
Решение:
а)
б)
в)
г)
Пример.Записать в алгебраической форме число
Решение: