- •Модуль 1. Элементы теории чисел Глава 1.1. Целые числа §1.1.1. Теория делимости
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.2 Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.3 Теорема о линейном представлении наибольшего общего делителя
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.4 Наименьшее общее кратное
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.5 Простые числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.6 Основная теорема арифметики кольца целых чисел
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.7 Целая часть числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.8 Функция Эйлера
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.9 Сравнения
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.10 Полная система вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.11 Приведенная система вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.12 Теорема Эйлера
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.13 Кольцо классов вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.14 Решение сравнений
- •Упражнения и задачи
- •Контрольная работа №1 по теме “Целые числа”
- •I вариант
- •II вариант
- •III вариант
- •IV вариант
- •V вариант
- •VI вариант
- •VII вариант
- •VIII вариант
- •IX вариант
- •X вариант
- •XI вариант
- •XII вариант
- •XIII вариант
- •XIV вариант
- •XV вариант
- •XVI вариант
- •XVII вариант
- •XVIII вариант
- •XIX вариант
- •XX вариант
- •XXI вариант
- •XXII вариант
- •XXIII вариант
- •XXIV вариант
- •XXV вариант
- •XXVI вариант
- •XVII вариант
- •XXVIII вариант
- •XXIX вариант
- •XXX вариант
- •Глава 1.2. Комплексные числа и комплексные функции
- •§1.2.1 Алгебраическая форма комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.2 Комплексно сопряженные числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.3 Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.5 Формула Муавра
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.6 Модуль комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.7 Извлечение корня из комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.8 Корни из 1
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.9 Показательная форма записи комплексного числа
- •Упражнения и задачи
Упражнения и задачи
Изобразить на плоскости множество всех точек плоскости, для которых:
а) б)в)г)д)е)ж)з)и)к)л)м)
Модули четырех различных комплексных чисел z1,z2,z3иz4равны. Доказать, что:
(Теорема Птолемея.Произведение длин диагоналей выпуклого вписанного в окружность четырехугольника равно сумме попарных произведений длин его противоположных сторон.)
§1.2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа
Пусть Argz. Тогда
и комплексное число zможно выразить через его модуль и аргумент:
(тригонометрическая формазаписи комплексного числаz).
Если z1иz2представить в тригонометрической форме:
то
Используя формулы сложения синуса и косинуса, получим формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:
В правой части записано число в тригонометрической форме, модуль которого равен r1r2, а аргументТаким образом,Arg Argz1 +Argz2, т.е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Получается следующая геометрическая картина. Еслиz=z1z2, то векторполучается из вектораповоротом его на уголпротив движения часовой стрелки, еслии по движению в противном случае, и увеличением его вr2раз. Например, умножению числаzнаотвечает поворот векторана уголпротив направления движения часовой стрелки.
Рассмотрим деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:
Следовательно,
ArgArgz1–Arg z2.
Иначе говоря, вектор дляполучается из вектораповоротом его на уголи сокращением вr2раз. Делению наiотвечает поворот на уголпо направлению движения часовой стрелки.
Замечание.РавенствоArgArgz1+Argz2для главного аргументавообще говоря, не верно. Его надо понимать в следующем смысле: для любых отличных от нуля комплексных чиселz1иz2среди всех возможных значенийArgz1,Argz2иArgz1z2 найдутся такие, для которых оно выполнено.
Пример.ДляимеемНо
Пример.Записать в тригонометрической форме числа 1+i;
Решение:
Упражнения и задачи
Представить в тригонометрической форме:
а) -2; б) i; в) -2i; г)д) 4-3i; е)
Представить в алгебраической форме:
а) б)
Выполнить умножение:
а)
б)
Представить в тригонометрическом виде:
а) б)
§1.2.5 Формула Муавра
Если – тригонометрическая форма записи комплексного числаz, то
Для любой натуральной степени числа zпо индукции получим:
Заметим, если тои
Для натурального числа пполучим:
т.е. для любого целого числа пимеет место равенство (формула Муавра):
Пример.Доказать, что
Решение:По формуле Муавра:
С другой стороны, по формуле сокращенного умножения:
Отсюда
Тогда
Пример.Найти сумму
Решение:Рассмотрим суммы:
Тогда
Применяя формулу суммы членов геометрической прогрессии, получим:
Итак,
Пример.Найти сумму: а)б).
Решение:По формуле бинома Ньютона имеем:
По формуле Муавра находим:
Приравнивая вещественные и мнимые части полученных выражений для , имеем
Пример.Выразитьчерез тригонометрические функции кратных углов.
Решение:ПустьТогдаи
Упражнения и задачи
Выразить через и:
а) б)в)г)д)
Выразить через тригонометрические функции кратных углов:
а) б)в)
Вычислить суммы:
а) б)
в) г)
Вычислить: а) б)в)
Доказать, что если