- •Модуль 1. Элементы теории чисел Глава 1.1. Целые числа §1.1.1. Теория делимости
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.2 Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.3 Теорема о линейном представлении наибольшего общего делителя
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.4 Наименьшее общее кратное
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.5 Простые числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.6 Основная теорема арифметики кольца целых чисел
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.7 Целая часть числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.8 Функция Эйлера
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.9 Сравнения
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.10 Полная система вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.11 Приведенная система вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.12 Теорема Эйлера
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.13 Кольцо классов вычетов
- •Упражнения и задачи
- •§1.1.14 Решение сравнений
- •Упражнения и задачи
- •Контрольная работа №1 по теме “Целые числа”
- •I вариант
- •II вариант
- •III вариант
- •IV вариант
- •V вариант
- •VI вариант
- •VII вариант
- •VIII вариант
- •IX вариант
- •X вариант
- •XI вариант
- •XII вариант
- •XIII вариант
- •XIV вариант
- •XV вариант
- •XVI вариант
- •XVII вариант
- •XVIII вариант
- •XIX вариант
- •XX вариант
- •XXI вариант
- •XXII вариант
- •XXIII вариант
- •XXIV вариант
- •XXV вариант
- •XXVI вариант
- •XVII вариант
- •XXVIII вариант
- •XXIX вариант
- •XXX вариант
- •Глава 1.2. Комплексные числа и комплексные функции
- •§1.2.1 Алгебраическая форма комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.2 Комплексно сопряженные числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.3 Геометрическая интерпретация комплексных чисел
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.5 Формула Муавра
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.6 Модуль комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.7 Извлечение корня из комплексного числа
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.8 Корни из 1
- •Упражнения и задачи
- •§1.2.9 Показательная форма записи комплексного числа
- •Упражнения и задачи
Упражнения и задачи
Вычислить:
а) б)в)г)д)
Представить в алгебраической форме:
а) б)в)
Выполнить действия:
а) б)в)
Представить в алгебраической форме:
а) б)в)
Решить уравнения:
а) б)в)
Решить систему
§1.2.2 Комплексно сопряженные числа
Для комплексное числоназываетсясопряженным. Имеют место равенства:
т.е.zисопряжены друг другу;
Отсюда непосредственно вытекает.
Теорема.Пусть имеется выражение, составленное из комплексных чисел, над которыми совершается ряд рациональных операций (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень). Если каждое из этих чисел заменить на сопряженное, то и значение всего выражения заменится на сопряженное. ■
Заметим, что произведение и сумма сопряженных чисел являются действительными числами: Ясно также, что
Пример.Найти число сопряженное числу
Решение:
Пример.Доказать тождество
Доказательство:ПустьТогда
Аналогично получим, что Поэтому:
Упражнения и задачи
Представить в алгебраической форме если
Решить уравнение:
а) б)
Если с– корень многочлена с действительными коэффициентами, то и число, сопряженное числус, также корень этого многочлена. Доказать это.
Показать, что числа иудовлетворяют уравнению
Если – действительное число, тогдеДоказать это.
§1.2.3 Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Поставим каждому числу в соответствие точку с координатамив прямоугольной декартовой системе координатXOY, т.е. установим взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и точками плоскостиXOY(см. рис. 2.1). ПлоскостьXOY, служащая для изображения комплексных чисел, называетсяплоскостью комплексной переменной.ОсьOXназывается действительной осью; на ней изображаются действительные числа. ОсьOY-мнимаяось; на ней изображаются чистомнимые числа.
Сложение и вычитание комплексных чисел получают простое геометрическое истолкование. Для всякого комплексного числа векторимеет своими проекциями на осиOX, OYсоответственно числаx, y.Пусть теперьТогда дляимеем
Отсюда вытекает, что проекциями векторана оси координат оказываются суммы соответствующих проекций векторови; иными словами сумма находится по правилу параллелограмма сложения векторов
.
Если тои для построения векторав этом случае мы должны сложить векторыи -(см. рис. 2.3), т.е. получим вектор, равный вектору(вторая диагональ того же параллелограмма).
Расстояние от точки до начала координат равноВеличинаназываетсямодулемкомплексного числа. Для действительного числа он совпадает с понятием абсолютной величины. Модуль комплексного числа неотрицателен и определен однозначно;Уголотсчитываемый против часовой стрелки от лучадо лучаназываетсяглавным аргументом числаи обозначаетсяВеличинаможет быть найдена из системы:
Аргументомкомплексного числаz (Argz) называется любое из чисел видагдет.е. аргумент определен с точностью доДля числаz= 0 аргументом может быть любое число.
Пример.Изобразить на плоскости число 1+i, найти его модуль и аргумент.
Решение: т.е.т.е.
Пример.Изобразить на плоскости множество всех точек, для которых
Решение:Следовательно
или
Получили уравнение окружности радиуса 2 с центром в точке (-2; 0).
Пример.Изобразить на плоскости множество всех точек, для которых
Ответ:Луч с началом в точке (0; 0) и проходящий под угломк осиOX.
Теория комплексных чисел может быть использована при решении планиметрических задач.
Пример.Доказать, что
Доказательство:Посколькуто
Тем самым доказано, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.