- •Федеральное агентство по образованию
- •Содержание
- •Рабочая программа
- •Краткие теоретические сведения
- •Примеры составления математических моделей
- •2. Зпр в условиях определенности
- •3. Принятие решения в условиях неопределенности
- •4. Принятие решения в условиях риска
- •5. Элементы теории игр
- •Контрольные задания
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
4. Принятие решения в условиях риска
Принятие решения в условиях риска характеризуется тем, что поведение среды имеет случайный характер, причем в этой случайности имеются закономерности стохастического типа.
Как известно из теории вероятностей, наиболее естественной числовой характеристикой случайной величины является ее математическое ожидание. Таким образом, в игре с природой ориентация на математическое ожидание выигрыша есть фактически ориентация на средний выигрыш, при многократном повторении этой игры. Однако при единичном испытании этот критерий должен быть трансформирован с учетом возможных отклонений случайной величины от ее среднего значения.
В теории вероятностей в качестве меры отклонения случайной величины от ее среднего значения обычно берется дисперсия или среднеквадратическое отклонение. При этом среднеквадратическое отклонение рассматривают как показатель риска. Тем самым получаем задачу двухкритериальной оптимизации, где в качестве критериев выступают М и .
Предпочтение альтернатив будем устанавливать по обобщенному критерию вида
q(М,) = М –.
Пусть ) – некоторое множество альтернатив, каждая из которых характеризуется парой показателей (). Зафиксируем какие-то две альтернативы= () и= (). Находим:q()=-,
q()=-.
Возможны два случая:
а) Альтернативы сравнимы по Парето. Пусть, например,
Par
. Тогда и, значит,--, т.е.q()q(). Таким образом, независимо от меры несклонности принимающего решение к риску, альтернативаболее предпочтительна, чем альтернатива.
б) Альтернативы несравнимы по Парето. Пусть, например, , тогда(т.е. больший ожидаемый выигрыш здесь всегда сопровождается большим риском). Условие--равносильно тому, что λ.
Таким образом, в этом случае
, если λ,
, если λ.
Положим = min { } – нижняя граница несклонности к риску, =max { } – верхняя граница несклонности к риску.
На основании б) для человека не склонного к риску, получаем правило.
ПРАВИЛА: а) Если у принимающего решение его субъективный показатель несклонности к риску меньше нижней границы, то для него ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив по обобщенному критерию совпадает с ранжированием по показателю ожидаемого выигрыша (т.е. более предпочтительной будет альтернатива, для которой больше ожидаемый выигрыш).
б) Если у принимающего решение его субъективный показатель несклонности к риску больше верхней границы, то для него ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив по обобщенному критерию совпадает с ранжированием по показателю риска ( более предпочтительной будет та альтернатива, для которой меньше риск).
Пример. Фирма может выпускать продукцию одного из следующих шести видов: зонты(З), куртки(К), плащи(П), сумки(С), туфли (Т), шляпы(Ш). Глава фирмы должен принять решение, какой из этих видов продукции выпускать в течение предстоящего летнего сезона. Прибыль фирмы зависит от того, каким будет лето – дождливым, жарким или умеренным, и определяется по таблице. Выбор какого варианта производства будет оптимальным?
|
Д |
Ж |
У |
З |
80 |
60 |
40 |
К |
70 |
40 |
80 |
П |
70 |
50 |
60 |
С |
50 |
50 |
70 |
Т |
75 |
50 |
50 |
Ш |
35 |
75 |
60 |
Предположим, что вероятность дождливого, жаркого и умеренного лета равна соответственно 0,2; 0,5; 0,3. Найдем ожидаемые выигрыши, соответствующие имеющимся альтернативам:
Мз= 80
Мк= 70
Мп= 70
Мс= 50
Мт= 75
Мш= 35
Тогда используя формулу дисперсии получим:
Dз=196; Dк=336; Dп=61; Dс=84; Dт=100; Dш=231,5.
Среднеквадратические отклонения рассматриваемых случайных величин таковы:
= 14; 18,3;7,8;9,2;= 10;= 15,2 .
Представим рассматриваемые альтернативы точками на координатной плоскости переменных (М,), получим рисунок, из которого находим Парето-оптимальное множество {З,П,Ш}.
M
.
0
Оптимальное решение можно найти с помощью обобщенного критерия
q(М,) = М –.
Получим: q(З) = 58-14λ, q(С) = 56-9,2λ, q(К) = 58-18,3 λ,
q(Т) = 55-10λ, q(П) = 57-7,8λ, q(Ш) = 62,5-15,2λ.
Найдем нижнюю и верхнюю границы меры несклонности к риску.
Имеем:
= = 0,16; = 3,8;
= = 0,74.
Отсюда
= min (0.16; 3,8; 0,74) = 0,16, =mаx (0.16; 3,8; 0,74) = 3,8.
Таким образом, интервал (0,) разбивается на три интервала: (0;0,16) – зона малой несклонности к риску (зона малой осторожности); (3,8; +) – зона большой несклонности к риску (зона большой осторожности); [0,16; 3,8] – зона неопределенности.
Согласно правилу получаем:
Если для принимающего решение его мера несклонности к риску 0λ0,16, то для него ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив совпадает с их ранжированием по величине ожидаемого выигрыша: ШЗ≻П; при этом оптимальной будет альтернатива Ш;
Если для принимающего решение его мера несклонности к риску λ>3,8, то для него ранжирование множества Парето-оптимальных альтернатив совпадает с их ранжированием по показателю риска:
ПЗ≻Ш; при этом оптимальной будет альтернатива П.
Рассмотрим теперь случай, когда мера несклонности принимающего решение к риску попадает в зону неопределенности. Возьмем, например, λ=2. Тогда : q(З) = 58–14,q(П) = 57–7,8,q(Ш) = 62,5–15,2= 32,1. Таким образом, в этом случае предпочтение для пары (З,Ш) определяется по величине ожидаемого выигрыша, а для пары (П, Ш ) – по величине риска.
Ответ: При λ > 3,8 оптимальной будет альтернатива П; при 0λ0,16 – альтернатива Ш; в зоне неопределенности (например, λ=2) для пары (З,Ш) – альтернатива Ш, для пары (П,Ш) – альтернатива П.