3. Принятие решения в условиях неопределенности

Принятие решения в условиях неопределенности характеризуется тем, что при выборе альтернативы принимающему решение неизвестно наличное состояние среды. Эта неопределенность не является абсолютной, так как принимающему решение известно множество возможных состояний среды (множество Y).

Итак, математическая модель ЗПР в условиях неопределенности может быть задана в виде тройки объектов <X,Y,f>, где Х – множество допустимых альтернатив, Y – множество возможных состояний среды, f: X ×Y→ R – целевая функция.

Фактически построение такой математической модели принятия решения сводится к заданию целевой функции, определенной на множестве X ×Y и принимающей числовые значения. Принимающий решение должен выбирать значение аргумента xХ, не зная значения yY.

Ограничимся случаем, когда множества X и Y являются конечными; тогда целевая функция может быть задана табличным способом. Так как “природа” альтернатив и состояний среды в математической модели ЗПР никак не отражается, будем различать элементы этих множеств по номерам, полагая X = ,Y = . Далее положимf (i,j) = и будем интерпретировать числокак выигрыш принимающего решение в ситуации (i,j). Тогда целевая функция задается таблицей, в которой на пересечении i- той строки и j-того столбца стоит число - выигрыш принимающего решение в ситуации, когда он выбирает альтернативуi, а среда принимает состояние j. Таблица называется матрицей выигрышей или платежной матрицей.

	1 … j … m
1 … i … n	a11 … a1j … a1m ……………………… a1i … aij … aij ……………………… a1n … anj … anm

Рассмотрим важнейшие типы критериев, используемые для задач принятия решений в условиях неопределенности.

Критерий Лапласа основан на гипотезе равновозможности и содержательно может быть сформулирован в виде: “Поскольку мы ничего не знаем о состояниях среды, надо считать их равновозможными”. При принятии данной гипотезы в качестве оценки i-й альтернативы выступает среднеарифметическое выигрышей, стоящих в i-й строке матрицы выигрышей. Таким образом, оценка по критерию Лапласа имеет вид

При введении оценки Лапласа любые две альтернативы будут сравнимы по предпочтительности: лучшей считается та альтернатива, которая имеет большую оценку по критерию Лапласа.

Критерий Вальда основан на гипотезе антагонизма, которая может быть сформулирована в следующем виде: “При выборе решения надо рассчитывать на самый худший возможный вариант ”.

При принятии данной гипотезы оценкой альтернативы i служит числоW(i) = min

ⁱ

и сравнение любых двух альтернатив производится по величине критерия W. Оптимальной в этом случае является альтернатива, максимизирующая функцию W, т.е. альтернатива , для которой выполняется условие

W() = max W(i) = max min.

^{i i j}

Альтернатива называется максиминной, а число maxmin называется максимином. Принцип оптимальности , по которому оптимальной альтернативой считается максимальная альтернатива, называется принципом максимина.

Содержательный смысл принципа максимина состоит в следующем: число W(i) характеризует гарантированный уровень альтернативы i . Таким образом, принцип максимины основан на максимизации минимального возможного (т.е. гарантированного) выигрыша.

Критерий Гурвица связан с введением показателя 0, называемого показателем пессимизма. Гипотеза о поведении среды состоит в этом случае в том, что при любом выборе альтернативы наихудший для принимающего решение вариант реализуется с вероятностью , а наилучший – с вероятностью 1-. Тогда оценкой альтернативыi является взвешенная сумма

H(i) = min+ (1 -) max.

^{j i}

Основной недостаток критерия Гурвица состоит в том, что он учитывает только два исхода – наихудший и наилучший.

Критерий Сэвиджа основан на преобразовании первоначальной матрицы выигрышей в матрицу рисков. Риском при выборе альтернативы i в состоянии j называется число =-, где=max .

ⁱ

Содержательноинтерпретируется как “мера сожаления”, возникающего от незнания истинного состояния среды.

Для критерия Сэвиджа оптимальной считается альтернатива, минимизирующая максимальный риск.

Пример. Энергетическая компания должна выбрать проект электростанции. Всего имеется четыре типа электростанций: А₁ – тепловые, А₂ – приплотинные, А₃ – бесшлюзовые, А₄ – шлюзовые. Последствия, связанные со строительством и дальнейшей эксплуатацией электростанции каждого из этих типов, зависят от ряда неопределенных факторов (состояния погоды, возможности наводнения, цены топлива, расходы по транспортировке топлива и т.п.). Предположим, что можно выделить четыре варианта сочетаний данных факторов – они выступают в качестве состояний среды и обозначены через В₁, В₂, В₃, В₄. Экономическая эффективность электростанции определяется в данном случае как процент прироста дохода в течение одного года эксплуатации электростанции в сопоставлении с капитальными затратами; она зависит как от типа электростанции, так и от состояния среды и определяется таблицей. Какой проект электростанции является оптимальным?

	В1	В2	В3	В4
А1	7	5	1	10
А2	5	2	8	4
А3	1	3	4	12
А4	8	5	1	10

Решение.

1. Критерий Лапласа.

L(А₁)= ( 7+5+1+10 ) = ;

L(А₂)= ( 5+2+8+4 ) = ;

L(А₃) = ( 1+3+4+12 ) = ;

L(А₄)= ( 8+5+1+10 ) = ;

Согласно критерию Лапласа, оптимальной здесь будет альтернатива А₄ – строительство шлюзовой электростанции.

2. Критерий Вальда.

W(А₁) = 1,

W(А₂) = 2,

W(А₃) = 1,

W(А₄) = 1.

Оптимальной по критерию Вальда является альтернатива А₂.

3. Критерий Гурвица.

Возьмем, например, в качестве “показателей пессимизма” Тогда оценки альтернатив таковы:

H_1/2(A₁) = ;

H_1/2(A₁) = ;

H_1/2(A₃) = ;

H_1/2(A₄) = ;

Оптимальной здесь будет альтернатива А₃ – строительство бесшлюзовой электростанции.

4. Критерий Сэвиджа.

Матрицу выигрышей надо преобразовать в матрицу рисков. Для удобства к первоначальной матрице добавим строку столбцовых максимумов; затем составляем матрицу рисков по формуле:=

	В1	В2	В3	В4
А1	7	5	1	10
А2	5	2	8	4
А3	1	3	4	12
А4	8	5	1	10
	8	5	8	12

Для того чтобы применить минимаксный критерий к матрице рисков, добавим столбец строчных максимумов; каждый элемент этого столбца указывает наибольший риск при выборе соответствующей альтернативы.

	В1	В2	В3	В4	max
А1	1	0	7	2	7
А2	3	3	0	8	8
А3	7	2	4	0	7
А4	0	0	7	2	7

Оптимальными по критерию Сэвиджа являются альтернативы А₁, А₃,А₄.