Среднее арифметическое значение (математическое ожидание) объясняемой переменной вычисляется по формуле:

Исправленная дисперсия любой случайной величины (в том числе объясняемой переменной ) вычисляется по формуле:

Для вычисления выше названных характеристик необходимо выполнить промежуточные вычисления. В программе EXCELэто необходимо сделать, организовав таблицуА(таблицаA и все другие таблицы ориентированы на статистический ряд, предложенный для выполнения на его основе типового комплексного расчета):

Таблица A

Таблица промежуточных вычислений для отыскания дисперсии

наблюдаемой (объясняемой) переменной

yt			()2
51	?	?	?
55		?	?
62		?	?
70		?	?
81		?	?
75		?	?
116		?	?
115		?	?
125		?	?
120		?	?
			= ?

На основе промежуточных вычислений находится исправленная дисперсия s (см. Формулу выше). Исправленное среднее квадратическое отклонениенаблюдаемой переменной найдется по формуле:

Далее необходимо сравнить порядок числового значения исправленного среднего квадратического отклонения с порядком чисел в ряду объясняемой переменной величины. Учесть, что порядком любого числа называется степень основания 10 –и в стандартном виде записи числа. Стандартный вид записи любого числа можно получить, выделив из него коэффициент, больший или равный 1 и меньший 10, т.е. стандартный вид любого числа В = , где,b– порядок числа В.

Пример: Пусть число В = 1231, 285. Запишем стандартный вид этого числа: В = 1, 231285 . Следовательно порядок этого числа равен 3.

Критерий принятия решения по 2-му заданию. Если порядок числового значения исправленного среднего квадратического отклонения окажется меньше или равен порядку чисел в ряду объясняемой переменной величины, тоисходный временной эмпирический ряд является однородными на его основе может быть выявлена линейная тенденция (построен линейный тренд). При этом построенный тренд будет обладать хорошими прогнозными свойствами.

Задание 3. Осуществить линейное сглаживание эмпирического временного ряда методом скользящей средней (в данном практикуме по 5-и точкам ряда). Построить совмещенный график эмпирического и сглаженного рядов. Сделать вывод об их соответствии. Оценив визуально сглаженный ряд, сделать вывод о его монотонности. Принять решение о возможности построения на основе эмпирического ряда линейного тренда.

Для построения сглаженного ряда нужно скопировать исходный временной ряд, а в соседнем ряду вычислить точки сглаженного ряда ().

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Если линейное сглаживание временного ряда осуществляется по m = 5 точкам, то сглаженные точки вычисляются методом скользящей средней по 5-и точкам, т. е. как средние арифметические значения соответствующих пяти последовательных значений эмпирического ряда.Таким образом, по выбранной методике найденнаяпервая сглаженная точкаявляетсятретьей в сглаженном ряду, найденная вторая – четвертой и т.д. Другим словами, все точки сглаженного ряда, начиная с третьей()и заканчиваяпред-предпоследней () находятся по базовой формуле:

где y_t – заданное значение элемента временного ряда;

- сглаженное значение элемента временного ряда (t = 3, … , n – 2).

При этом теряются две первые и две последние точки ряда. Для их вычисления используют дополнительные эмпирические формулы:

Далее строится совмещенный график исходного эмпирического и сглаженного рядов. В сглаженном ряду необходимо оценить наличие (или отсутствие) монотонности. Монотонность в ряду – это либо его постоянное возрастание или только его постоянное убывание.

Критерий принятия решения по 3-му заданию. Если в сглаженном ряду монотонность наблюдается, имеются все основания утверждать, что на основе эмпирического ряда может быть выявлена линейная тенденция (построен линейный тренд). При этом построенный тренд будет высокого качества, то есть он обладает хорошими прогнозными свойствами.

Задание 4. Провести автокорреляционный анализ эмпирического временного ряда (рассчитать последовательно коэффициенты автокорреляции между членами ряда ; построить коррелограмму – график автокорреляционной функции; охарактеризовать структуру эмпирического ряда и выявить, между какими элементами эмпирического ряда наибольшая корреляция).

Задачей автокорреляционного анализа временного ряда является установление степени и временного интервала зависимости последующих членов ряда от предыдущих. Наличие корреляционной связи между последующими и предыдущими членами ряда также служит информативным признаком временного ряда.

Коэффициенты автокорреляции рассчитывают по формуле:

где средние значения рядовy_t, y_t+k и ;S₁ и S₂ – исправленные средние квадратические отклонения рядов y_t и y_t+k; k = 1, 2, … Следует учесть, что ряд при отыскании коэффициентов автокорреляции непрерывно укорачивается на число элементов, равное значению.

По определению, любой коэффициент автокорреляции должен попадать в интервал от –1 до 1, т.е. .

Средние значения величин вычисляются по формулам:

Исправленные средние квадратические отклонения вычисляются известным путем:

Значения коэффициента автокорреляции находятся для различных значений k: k = 1; k = 2; k = 3 и т.д. (в типовом задании до k = 5). В общем случае необходимо рассчитывать число коэффициентов автокорреляции, равное половине длины ряда + 1 (n/2 +1)

Алгоритм расчета первого коэффициента автокорреляции.

(k = 1)

Составляется таблица промежуточных вычислений для определения средних (таблицаB, числовые данные в таблице соответствуют условию типового задания).

Таблица B

Таблица промежуточных вычислений для определения числителя коэффициента автокорреляции r₁ при k = 1

										Средние
yt	51	55	62	70	81	75	116	115	125	?
yt+1	55	62	70	?	?	?	?	?	?	?
	2805	3410	?	?	?	?	?	?	?	?

На основе таблицы A составляется таблицаCпромежуточных вычислений для определения исправленной дисперсиивеличиныy_tприk= 1:

Таблица C

Таблица промежуточных вычислений для определения исправленной дисперсии величины y_t при k = 1

51	?	?	?
55		?	?
62		?	?
70		?	?
81		?	?
75		?	?
116		?	?
115		?	?
125		?	?
			= ?

Исправленная дисперсия в ряду y_t при k = 1 будет находиться по формуле: Исправленное среднее квадратическое отклонение в рядуy_t при k = 1 будет равно:

На основе таблицы A составляется таблица D промежуточных вычислений для определения исправленной дисперсии в рядуy_t+1 :

Таблица D

Таблица промежуточных вычислений для определения исправленной дисперсии величины y_t+1 при k = 1

55	?	?	?
62		?	?
70		?	?
81		?	?
75		?	?
116		?	?
115		?	?
125		?	?
120		?	?
			= ?

Исправленная дисперсия в ряду y_t+1 при k = 1 будет находиться по формуле: Исправленное среднее квадратическое отклонение в рядуy_t+1 при k = 1 будет равно

По результатам промежуточных вычислений для k = 1 определяется значение коэффициента автокорреляции r₁.

Коэффициенты и т.д. находятся по аналогичному алгоритму.

Последовательность полученных коэффициентов автокорреляции ряда данных называется автокорреляционной функциейвременного ряда.

Коррелограммой называют график (в виде столбчатой диаграммы) зависимости значений автокорреляционной функции (взятых по модулю) от времени наблюдения (порядка коэффициента автокорреляции). Строится коррелограмма в осяхk– порядок коэффициента,r– значение автокорреляционной функции.

Анализ коррелог

раммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и условия, при которых связь между определенными элементами во временном ряду наиболее тесная (то есть при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру временного ряда).

Критерий принятия решений. Если в рассматриваемой задаче наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляциипервого порядка, то это означает, что исследуемый ряд содержиттолько тенденцию. Если же наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка, то тогда ряд содержит не только тенденцию, но и циклические колебания с периодичностью вмоментов времени.

Задание 5. Определить степень полиномиального тренда методом переменных разностей с использованиемF-статистики (статистики Фишера).

Этот метод заключается в вычислении переменных разностей и проверке гипотезы о равенстве дисперсий предыдущих и последующих разностей.

Сначала вычисляют первые разности:

где t = 1, …, n – 1.