Нулевая гипотеза

Для вышерассмотренного примера в математической статистике существует понятие «нулевая гипотеза»:

 нулевая гипотеза отвергается, если показано, что расхождение в значениях средних арифметических двух выборочных данных вызвано не случайными причинами, а каким-то постоянно действующим фактором.

 принятие нулевой гипотезы означает, что различий в двух выборочных данных по средней арифметической не наблюдается.

Предельно допустимое значение вероятности, при котором нулевая гипотеза отвергается (т.е. доказывется, что различие между двумя выборками существует), называется уровнем значимости. Уровень значимости связан с доверительным уровнем обратной зависимостью: чем больше доверительный уровень, тем меньше уровень значимости (табл. 11).

Таблица 11.

Доверительный уровень	Р=95%	Р=99%	Р=99,9%
Уровень значимости	5% (р=0,05)	1% (р=0,01)	0,1% (р=0,001)

Во многих педагогических исследованиях для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу, считают вполне достаточным уровень значимости при р0,05. Более строгие выводы о достоверности различия между двумя выборками делаются при доверительном уровне 99% и выше или при уровне значимости менее 1% (р0,01).

Одним из простых, но достаточно точных способов определения достоверности различий средних двух эмпирических совокупностей является проверка при помощи сравнения доверительных интервалов выборочных средних. Так, например, если результаты двух групп в беге на 100 мсоставляют:=14,0спри m=0,1 си=14,3сприm=0,2 с, то средние генеральных совокупностей при доверительном уровне 95% (Р=95%) могут находиться в интервалеи, то есть от 13,8сдо 14,2сдля первой группы и от 13,9сдо 14,7сдля второй группы. Тогда, как мы видим, доверительные интервалы перекрываются и трудно утверждать о статистической достоверности полученных различий.

Критерий Стьюдента

Так как способ проверки различий двух выборок при помощи сравнения доверительных интервалов выборочных средних не является особенно точным, то в большинстве случаев для сравнения средних значений двух эмпирических совокупностей применяется критерий Стьюдента.

Критерий Стьюдента вычисляется по формуле

. (6)

Особенности критерия Стьюдента проявляются в том, что он:

 является величиной безразмерной;

 независимо от полученного знака разности средних величин, перед tникакого знака не ставится.

Для учета последней особенности критерия Стьюдента формулу (6) можно переписать в виде

, (7)

где является модульным значением разности двух средних величин, т.е. всегда принимается за абсолютную величину, что на практике означает положительное значение рассматриваемой разности.

В тех случаях, когда число наблюдений (N)более 30, уровень значимости определяется в соответствии с таблицей 12.

Таблица 12.

Критерий Стьюдента	t=1,96	t=2,6	t=3,3
Уровень значимости	р=0,05	р=0,01	р=0,001

Если для принятого уровня значимости, вычисленное значение tкритерия Стьюдента меньше табличного значения (табл. 12), то нулевая гипотеза не отвергается и высказывается предположение о том, что различия в сравниваемых выборках статистически незначимы. В приведенном примере с результатами в беге на 100м

Величина t=1,36подтверждает уже высказанное предположение о том, что различия статистически незначимы (доверительные интервалы перекрываются) и нулевая гипотеза не отвергается.

Если число наблюдений менее 30, то необходимая величина tдля различных уровней значимости определяется по специальной таблице (табл.1 Приложений). Так, например, две опытные группы по 10 человек, в которых тренировки проводились с помощью различных методических приемов, показали следующие результаты в плавании на 50м:=50,8с; m₁=1,7 си=46,2с;m₂=1,1 с.

В этом случае критерий tбудет равен

Если бы общее количество испытуемых было больше 30 человек, то на основании полученной величины tможно было утверждать, что с вероятностью более 95% различия между группами статистически значимы. Однако в нашем случае общее число испытуемых равно 20, поэтому уровень значимости для вычисленной величиныtопределяется по таблице 1 Приложений.