Нормальное распределение

Обычно в правильно отобранной выборке результаты тестирования имеют так называемое нормальноераспределение, т.е. большинство вариант незначительно отличаются по своей величине от средней арифметической, и чем больше отклонение варианты от средних значений, тем реже она встречается.

Однако, как показывает практика научных исследований в физической культуре и спорте, очень часто встречаются и так называемые асимметричные распределения, когда большинство вариант группируются ближе к левому или правому краю распределения. В этих случаях медиана или мода также будут более полно отражать присущие им закономерности, а по различиям между медианой и средней арифметической в определенной мере можно судить о величине и характере асимметрии. Более подробно об асимметричности распределения вариант в выборке можно прочитать ниже (в разделе среднее квадратическое отклонение).

Вычисление средних величин (средняя арифметическая, медиана, мода) еще не полностью характеризуют изучаемую группу испытуемых. Так, например, при тестировании двух 10-х классов одной школы по времени удержания угла в упоре на брусьях были получены одинаковые средние результаты

Однако в первой группе результаты колебались в пределах от 12 до 17 сек., а в другой – от 3 до 28 сек. Вполне естественно предположить, что первая группа более однородна по своей подготовке, а во второй группе имеется значительное число лиц слабо тренированных в данном упражнении. Средние результаты в данном случае маскируют качество проведенной работы, не показывают разнообразия результатов, которое присущи анализируемой совокупности. Таким образом, при «уплотнении» протестированных результатов на уровне средней арифметической часть информации о совокупности как бы теряется. А так как эта информация имеет существенное значение для правильного понимания и анализа полученных данных то, кроме средних величин, для полной характеристики совокупности необходимо использовать и показатели разнообразияполученных результатов. Таких показателей может быть несколько.

Показатели разнообразия изучаемого признака

Размах. Одним из наиболее простых показателей разнообразия изучаемого признака являетсяразмахего значений, т.е. разница между минимальным (min)и максимальным (max) значением результатов тестирования. Обозначим размах через Н. Тогда можно записать

H = Xmax – Xmin.

Так, например, для результатов, приведенных таблице 3, размах (H) равен 14, так как 47-33=14. Для первого ознакомления с изучаемым признаком эти данные являются вполне достаточным и представляют большой интерес даже без вычисления других показателей разнообразия.

Лимиты. Иногда достаточно ограничиться информацией об указании минимального и максимального значения признака, и тогда этот показатель носит названиелимиты(lim). В приведенных выше примерах о параметрах размаха для первой группыlim₁=12–17 сек., а для второй группыlim₂=3–28 сек.

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение(иногда назывется и стандартным отклонение) часто обозначают греческой буква сигма (δ), и название этой буквы перешло и на сам показатель, так что среднее квадратическое отклонение зачастую называют просто «сигма».

Сигма вычисляется по следующей формуле:

δ=. (2)

По формуле (2) для вычисления среднего квадратического отклонения необходимо последовательно выполнить следующие вычисления:

1. Найти среднюю арифметическую по уже известной нам формуле (1).

2. Вычислить отклонение каждой варианты от средней арифметической и затем последовательно возвести все вычисленные отклонения в квадрат - .

3. Просуммировать все квадраты отклонений каждой варианты от средней арифметической - .

4. Разделить полученную сумму на число вариант без одной - .

5. Извлечь из полученного результата квадратный корень.

Описанный алгоритм вычислений несложен, но практика его применения нуждается в некоторых пояснениях:

 прежде всего необходимо уточнить, почему для характеристики вариативности выборки берутся квадраты отклонений, а не просто отклонения. Дело в том, что положительные и отрицательные значения отклонений взаимно компенсируются и их алгебраическая сумма будет равна нулю. Избежать влияния знаков можно путем возведения отклонений в квадрат. Тогда все величины будут иметь положительное значение и их сумма не будет равна нулю.

 среднее квадратическое отклонение величина именованная и имеет ту же размерность, что и изучаемый признак. Следовательно, если величина средней арифметической выражается в метрах, то и сигма будет выражаться в метрах.

 среднее квадратическое отклонение применяется для характеристики распределений вариант. При распределении близком к нормальному в интервале располагается, как правило, 50% возможных значений признака, в интервалерасполагается 68,3% вариант, а в интервале- 95,5% и в интервале- 99,7% вариант. Более наглядно эти данные можно представить в табличном виде (табл. 4).

Таблица 4.

Отклонение в 
Число вариант в %	50%	66,3%	95,5%	99,7%

Таким образом, максимальное и минимальное значения признака практически не удаляются от среднего значения больше, чем на 3. Эти свойства сигмы (табл. 4) позволяют использовать её для многих целей статистической обработки экспериментальных данных.

Практическое вычисление среднего квадратического отклонения для двух групп испытуемых, проверявшихся в метании гранаты Ф-1 на дальность, показано в таблице 5.

Таблица 5.

	Первая	группа			Вторая	группа
50	+10	100	N=10	50	+10	100	N=10
43	+ 3	9		49	+ 9	81
41	+ 1	1		46	+ 6	36
40	0	0		44	+ 4	16
40	0	0	Lim=3050	41	+ 1	1	Lim=3050
40	0	0		39	- 1	1
40	0	0	 ==	36	- 4	16	 ==
38	- 2	4	==	34	- 6	36	==
38	- 2	4	= 4,92м	31	- 9	81	= 7,21м
30	-10	100		30	-10	100
xi = 400	(xi –x)= 0	(xi –x)2=218		xi = 400	(xi –x)= 0	(xi –x)2= 468

Из этого примера видно, что одни только средние и лимиты не дают полной характеристики показанных результатов. Среднее квадратическое отклонение полнее отражает величину разнообразия значений изучаемого признака: чем меньше сигма, тем более однороден изучаемый материал.