Средняя арифметическая

Наиболее широко в исследованиях по физической культуре и спорту для оценки центральной тенденции используется такая средняя величина, как средняя арифметическая. Среднюю арифметическую мы будем обозначать знаком, хотя довольно часто в учебно-методической литературе применяются и другие обозначения для средней арифметической.

Средняя арифметическая вычисляется по формуле

(1)

где х_i – варианта (отдельное значение изучаемого признака);i – скользящий буквенный индекс, которому первоначально приписывается цифровое значение равное 1 и в дальнейшемiпоследовательно увеличивается на 1 поN включительно;N– число вариант в совокупности;- знак суммирования, в котором нижний индекс (в нашем случаеi) показывает начальное значение изменения поi,верхний индекс (в нашем случаеN) – конечное значение изменения поi.

Допустим, 5 участников забега на 100 мпоказали результаты ( в сек.) соответственно равные 11,8; 12,0; 12,1; 12,1; 11,9 и 12,2. В этом случае для первого участника результат забега можно записать в видех₁ =11,8; для второго –х₂ =12,0; для третьего –х₃ =12,1; для четвертого –х₄ =11,9 и для пятого соответственно –х₅ =12,2. ЗдесьN = 5, аiизменяет свои значения от 1 до 5.

Иначе, всё это можно представить в следующем виде:

х₁=11,8 – результат первого участника забега;

х₂=12,0 – результат второго участника забега;

х₃ =12,1 – результат третьего участника забега;

х₄ =11,9 – результат четвертого участника забега;

х₅ =12,2 – результат пятого участника забега.

Нетрудно заметить, что цифровое значение буквенного индекса iсоответствует номеру участника забега, то естьх_i– результатi-го участника забега.

Запишем в подробной записи формульное выражение для вычисления средней арифметической рассматриваемого примера и полученный результат:

Средняя арифметическая обладает целым рядом особенностей, которые делают ее наиболее удобной при математической обработке данных. Однако не во всех случаях ее применение оправдано.

Средняя геометрическая

Рассмотрим следующий пример. Допустим, необходимо рассчитать средний прирост результатов за три периода тренировки, зная, что после первого периода прирост составил 40%, после второго – 25% и после третьего – 8%. Вычисление среднего арифметического в этом случае будет не только не оправдано, но и некорректно, так как влечет погрешности в интерпретации прироста результатов тренировочного периода. Действительно

В этом случае правильный прирост результата получим, используя среднюю геометрическую, которая вычисляется по формуле

(2)

Здесь П – знак произведения.

В рассматриваемом случае средняя геометрическая равна

Следовательно, в действительности средний прирост будет несколько меньше, чем при использовании средней арифметической.

В некоторых случаях при анализе результатов могут применяться и другие средние величины. Остановимся на двух из них – медиане и моде.

Медиана

Медианой (Ме) называют такую варианту в совокупности, которая делит её на две равные части: одна часть имеет значения изучаемого признака меньшие, чем медиана, а другая часть – большие. Например имеется 11 результатов проверки школьников 8-го класса в подтягивании, представленных в виде таблицы (табл. 1).

Таблица 1.

Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Х9	Х10	Х11
5	5	6	7	7	9	10	10	10	11	16

В данном случае медианой будет служить варианта Х₆со значением 9, так как она делит все распределение результатов на две равные половины. Если имеется четное число вариант, то тогда медиану находят делением суммы двух средних вариант на 2. Пусть ряд распределения имеет вид (табл. 2).

Таблица 2.

Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Х9	Х10	Х11	Х12
5	5	6	7	7	9	10	10	10	11	13	16

Медиана в этом случае будет равна

Ме=.

Мода

Столь же мало вычислений необходимо для вычисления моды (Мо).Мода обозначает наиболее часто встречаемые в ряду распределения («модные») значения изучаемого признака. Для результатов таблицы 1 и таблицы 2 модой будет являться результат, равный 10 подтягиваниям, так как он встречается наиболее часто (3 раза):

Мо₁ =х₇, х₈, х₉ =10;Мо₂=х₇, х₈, х₉=10.

Медиана и мода еще недостаточно используются при анализе результатов исследований по физическому воспитанию. Но это не означает, что медиану имоду нельзя использовать для анализа выборочных данных.

Во-первых, для моды и медианы не требуется долгих и кропотливых вычислений.

Во-вторых, в зависимости от реального выбора результатов, в некоторых случаях, мода и медиана более приемлемы для характеристики центральной тенденции, чем средняя арифметическая. Так, например, допустим, имеются следующие результаты в метании гранаты (табл. 3), выраженные в метрах.

Таблица 3.

Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Х9	Х10
33	33	41	42	43	43	43	43	46	47

Нетрудно увидеть, что Мо = 43 миМе = 43 мдадут более точную характеристику центральной тенденции, чем средняя арифметическая= 41,4 м, при вычислении которой.учтены два результата по 33м, что явно отклоняется от центральной тенденции.