L06-QuantPhys [Режим совместимости]

11.11.2012

Лекция № 6 Основы квантовой физики атомов,

молекул и твердых тел

Элементы квантовой механики

2Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества

•Французский ученый Луи де Бройль в 1923 году,

развивая представления о двойственной корпускуляр-

но-волновой природе света, выдвинул гипотезу об

универсальности корпускулярно-волнового дуализма.

•Cогласно де Бройлю, с каждым микрообъектом свя-

зываются, с одной стороны, корпускулярные характе-

ристики – энергия Е и импульс р, а с другой – волновые характеристики – частота ν и длина волны λ.

•Cоотношения, связывающие корпускулярные и волно-

вые свойства частиц, такие же, как и для фотонов:

1

11.11.2012

3Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества

•Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставлялся волновой процесс с длиной

волны, определяемой по формуле де Бройля:

•Следует отметить, что волновые свойства частиц не

являются свойством их коллектива, а присущи каждой

частице в отдельности.

•Можно показать, что для макроскопических объектов

длина волны де Бройля настолько мала, что лежит за

пределами доступной наблюдению области

•Кроме того на частицы вещества переносится связь между полной энергией частицы и частотой (6.3):

4Соотношение неопределенностей Гейзенберга

•Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица не может иметь одновременно и определенную координату (x, y, z), и определенную соответствующую проекцию импульса

(px, py, pz), причем неопределенности этих величин

удовлетворяют условиям

•т.е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может

быть меньше величины порядка h

2

11.11.2012

5 Соотношение неопределенностей

•Известно, что движение по траектории

характеризуется в любой момент времени определенными значениями координат и скорости.

Выразим соотношение неопределенностей в виде

•В квантовой теории рассматривается также

соотношение неопределенностей для энергии и

времени:

•Подчеркнем, что ∆E – неопределенность некоторого

состояния системы, а ∆t – промежуток времени, в

течение которого оно существует

6Соотношение неопределенностей

•Из выражения (6.6) следует, что частота излучения фотона также должна иметь неопределенность

hE ,

•т.е. линии спектра должны характеризоваться частотой

равной

hE .

•Измеряя ширину спектральной линии, можно оценить

порядок времени жизни возбужденного состояния

3

11.11.2012

7Волновая функция и ее статистический смысл

•Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля

привели к новому этапу развития квантовой теории –

созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их

волновых свойств

•Однако толкование волн де Бройля как волн

вероятности неверно уже потому, что вероятность

обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательной, что не имеет смысла

•Чтобы устранить эти противоречия немецкий физик Макс Борн предположил, что по волновому закону

меняется не сама вероятность, а величина, названная

амплитудой вероятности и обозначаемая Ψ(x, y, z, t).

8Волновая функция и ее статистический смысл

•Эту величину называют также волновой функцией или

Ψ-функцией.

•Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:

•(|Ψ|2 = Ψ Ψ*, Ψ* – функция, комплексно сопряженная с Ψ). Т.о., описание состояния микрообъекта волновой функцией имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля Ψ-функции (или квадрат

модуля амплитуды волны де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатами x и x + dx, y и y + dy, z и z + dz

4

11.11.2012

9Волновая функция и ее статистический смысл

•Итак, вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV равна

2 dWdV

•(квадрат модуля Ψ-функции) имеет смысл плотности

вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в окрестностях точки с

координатами x, y, z. Таким образом, физический смысл имеет не сама Ψ-функция, а квадрат ее модуля,

которым задается интенсивность волн де Бройля

10Волновая функция и ее статистический смысл

•Вероятность найти частицу в момент времени t в

конечном объеме V, согласно теореме сложения

вероятностей, равна

W dW 2 dV.

VV

•Если за объем V принята бесконечность, то должно выполняться условие нормировки вероятностей

•таким образом, условие (6.9) говорит об объективном существовании частицы в пространстве

5

11.11.2012

11Волновая функция и ее статистический смысл

•Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в

различных состояниях, описываемы волновыми

функциями Ψ1, Ψ1, … , Ψn, … то она также может

находиться в состоянии Ψ, описываемом линейной

комбинацией этих функций:

Cn n ,

n

где Cn (n = 1, 2, …) – произвольные числа

• Среднее расстояние <r> электрона от ядра

вычисляют по формуле

r r 2 dV ,

6

11.11.2012

13Общее уравнение Шредингера

•К уравнению Шредингера, можно прийти,

рассматривая уравнение плоской волны

(x,t) Acos( t kx),

(x,t) Aei( t kx) .

•Поскольку ω = E/ ħ, k = p/ ħ, то для волны де Бройля можно записать

•Учитывая взаимосвязь между энергией и импульсом

E = p2/(2m) и дифференцируя (6.11) можно прийти к уравнению Шредингера (см. Т. §217).

14Уравнение Шредингера для стационарных состояний

•Уравнение (6.10) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени.

•Для многих явлений уравнение (6.10) можно

упростить, исключив зависимость Ψ от времени,

иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний – состояний с

фиксированными значениями энергии.

•Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т.е. функция U = U(x, y, z) не

зависит явно от времени и имеет смысл

потенциальной энергии.

7

11.11.2012

15Уравнение Шредингера для стационарных состояний

•Уравнения Шредингера может быть представлено в

виде произведения двух функций, одна из которых

есть функция только координат, а другая – только

времени, причем зависимость от времени выражается

множителем e–iωt = e–i(E/ħ)t, так что

(x, y, z,t) (x, y, z)e i E / t , (6.12)

•где Е – полная энергия частицы, постоянная в случае

стационарного поля

•Подставляя (6.12) в (6.10), получим

16Уравнение Шредингера для стационарных состояний

•откуда после деления на общий множитель e–i(E/ħ)t, и

соответствующих преобразований придем к

уравнению, определяющему функцию ψ:

• Уравнение (6.13) называется уравнением Шредингера

для стационарных состояний.

• Физический смысл имеют только такие решения

уравнения Шредингера, которые выражаются

регулярными волновыми функциями ψ (т.е.

конечными, однозначными и непрерывными).

• Значения энергии Е для которых существуют

регулярные решения называются собственными значениями энергии.

8

11.11.2012

18 Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме"

• Граничные условия для волновой функции в данном

• В пределах "ямы" (0 ≤ x ≤ l ) уравнение Шредингера

(6.14) сведется к уравнению

• Общее решение дифференциального уравнения

(6.16):

9

11.11.2012

20 Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме"

• Частица в потенциальной яме не может иметь энергию меньше минимальной равной

10