L07-QuantPhys [Режим совместимости]

25.11.2012

Лекция № 7 Основы квантовой физики атомов,

молекул и твердых тел

Элементы квантовой механики

2Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике

•Линейный гармонический осциллятор – система,

совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы, – является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории.

•Пружинный маятник – пример классического гармонического осциллятора.

•Потенциальная энергия гармонического осциллятора

равна

•где ω0 – собственная частота колебаний осциллятора; m – масса частицы

1

25.11.2012

3Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике

•Зависимость (7.1) имеет вид параболы (рис 303), т.е.

"потенциальная яма" в данном случае является параболической

•Гармонический осциллятор в

квантовой механике –

квантовый осциллятор –

описывается уравнением

Шредингера (6.13), учитывающим выражение (7.1) для

потенциальной энергии.

•Тогда стационарные состоя-

ния квантового осциллятора

4 Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике

• где Е – полная энергия осциллятора

• Уравнение (7.2) решается только при собственных

2

25.11.2012

•1. Энергия. Уравнения типа (7.5) имеют решения,

удовлетворяющие требованиям, налагаемым на волновую функцию y(r, q,j), только при собственных значениях энергии

3

25.11.2012

7Атом водорода в квантовой механике

•2. Квантовые числа. В квантовой механике

доказывается, что уравнению Шредингера (7.5)

удовлетворяют собственные функции ynlm(r, q,j),

определяемые тремя квантовыми числами: главным n,

орбитальным l и магнитным ml.

•Главное квантовое число n, согласно (7.6),

определяет энергетические уровни электрона в

атоме и может принимать любые целочисленные

значения, начиная с единицы:

n 1, 2, 3, ... .

•Из решения уравнения Шредингера вытекает, что

момент импульса электрона квантуется, т.е. не может

быть произвольным, а принимает дискретные

значения, определяемые формулой:

8Атом водорода в квантовой механике

•где l – орбитальное квантовое число, которое при

данном n принимает значения

•т.е. всего n значений, и определяет момент импульса

электрона в атоме

•Вектор Le момента импульса электрона может иметь

лишь такие ориентации в пространстве, при которых

его проекция Lez на направление внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные ħ:

•где ml – магнитное квантовое число, которое при

данном l может принимать значения:

4

25.11.2012

9Атом водорода в квантовой механике

•т.е. всего 2l + 1 значений. Таким образом, магнитное

квантовое число ml, определяет проекцию момента

импульса электрона на заданное направление,

причем вектор момента импульса электрона в атоме

может иметь в пространстве 2l + 1 ориентаций

•Расщепление энергетических уровней в магнитном

поле было обнаружено в 1896 г. голландским физиком

Зееманом и получило название эффект Зеемана. Расщепление уровней энергии во внешнем

электрическом поле, тоже доказанное

экспериментально, называется эффектом Штарка.

10Атом водорода в квантовой механике

•Квантовые числа n и l характеризуют размер и

форму электронного облака, а квантовое число ml характеризует ориентацию электронного облака в

пространстве

•Состояния электрона, характеризующиеся квантовыми числами l = 0, называют s-состоянием,

l = 1 – p-состоянием, l = 2 – d-состоянием, l = 3 – f-состоянием и т.д.

•3. Спектр. Квантовые числа n, l, ml позволяют описать

спектр испускания (поглощения) атома водорода

•В квантовой механике вводятся правила отбора,

ограничивающие число возможных переходов

электронов в атоме, связанных с испусканием и

поглощением электромагнитного излучения

5

25.11.2012

12Спин электрона. Спиновое квантовое число

•Немецкие физики Штерн и Герлах, обнаружили, что

пучок атомов водорода, находящихся в s-состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два узких пучка

•Для объяснения этих и других фактов было сделано

предположение, что электрон обладает собственным механическим моментом импульса, не связанным с

движением электрона в пространстве, – спином

•Если электрону приписывается собственный

механический момент импульса (спин) Ls, то ему

соответствует и собственный магнитный момент

pms. Согласно выводам квантовой механики, спин

квантуется по закону:

6

25.11.2012

13Спин электрона. Спиновое квантовое число

Ls s s 1 ,

•где s – спиновое квантовое число

•По аналогии с орбитальным моментом импульса,

проекция Lsz спина квантуется так, что вектор Ls может принимать 2s + 1 ориентаций

•Так как в опытах наблюдались только две ориентации,

то 2s + 1 = 2, откуда s = 1/2. Проекция спина на

направление внешнего магнитного поля, являясь

квантовой величиной, определяется выражением:

Lsz ms ,

•где ms – магнитное спиновое квантовое число; оно может иметь только два значения: ms = ±1/2.

14 Принцип Паули

•главного n (n = 1, 2, 3, …), орбитального l (l = 0, 1, 2, …, n – 1),

магнитного ml (ml = –l, … , –1, 0, +1, … , +l),

магнитного спинового ms (ms = +1/2, –1/2).

•Распределение электронов в атоме подчиняется

принципу Паули: в одном и том же атоме не

может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел n, l, ml и ms т.е.

n,l, ml , ms 0 или1,Z

• где Z(n,l,ml,ms) – число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором

четырех квантовых чисел: n, l, ml и ms.

7

25.11.2012

15Принцип Паули

•Так как при данном n орбитальное квантовое число l может изменяться от 0 до n – 1, а каждому значе-

нию l соответствует 2l + 1 различных значений ml, то

число различных состояний, соответствующих

данному n, и отличающихся значениями l и ml, равно

l0

•Квантовое число ms может принимать лишь два значения (±1/2). Поэтому максимальное число

электронов, находящихся в состояниях, определяе-

мых данным главным квантовым числом n, равно

n 1

Z (n) 2 2l 1 2n2.

l 0

16Принцип Паули

•Совокупность электронов в многоэлектронном

атоме, имеющих одно и то же главное квантовое

число n, называют электронной оболочкой.

•В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующих данному l.

Поскольку орбитальное квантовое число l принима-

ет значения от 0 до n – 1, число подоболочек равно

порядковому номеру n оболочки

•Количество электронов в подоболочке определяет-

ся магнитным и магнитным спиновым квантовыми

числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l + 1)

8

25.11.2012

17 Принцип Паули

Таблица 11

18Периодическая система элементов Менделеева

•Менделеев ввел понятие порядкового номера Z

химического элемента, равного числу протонов в ядре и соответственно равного числу электронов в электронной оболочке атома. Расположив

химические элементы по мере возрастания

порядковых номеров, он получил периодичность в

изменении химических свойств элементов

•Так как химические и некоторые физические

свойства элементов определяются внешними

(валентными) электронами, то периодичность свойств элементов должна быть связана с

определенной периодичностью в расположении

внешних электронов в атомах

9