Задача 10

Проанализируйте полученные результаты решения, представленные в задачах 8, 9. Примите гипотезу о нормальном распределении частот рассматриваемого вариационного ряда. Произведите его математическое выравнивание с помощью кривой нормального распределения. Рассчитайте критерии согласия Пирсона, Романовского и Колмогорова. Сопоставьте полученные результаты с их табличными значениями. Сформулируйте выводы. Изобразите на графике (совместно) эмпирический и теоретический ряды распределения (рис. 6).

Краткие методические указания к решению задачи 10

Под математическим выравниванием частот эмпирического ряда в общем случае понимается замена его теоретическим рядом распределения, имеющим определенное аналитическое выражение (параметры последнего определяются по данным эмпирического ряда).

В практике статистического исследования приходится встречаться с самыми различными распределениями. Наиболее распространенными является нормальное распределение. Для того чтобы построить нормальное распределение достаточно располагать двумя статистическими характеристиками – и, расчеты которых неоднократно проводились в предшествующих задачах данной работы.

Кривая нормального распределения выражается уравнением

,

где – ордината кривой нормального распределения;,e– математические константы, = 3,1416;e= 2,7132 – основание натурального логарифма.

В этом уравнении рассматривается как функцияt, т. е. каждому значениюtсоответствует определенное значение.

Например, если t= 0, то.

При = 1; приt= 1;.

Точечная функция затабулирована и представлена во всех учебных пособиях по теории статистики как приложение (таблица значений распределения вероятностей в случае нормального распределения).

Последовательность расчета теоретических частот по формуле кривой нормального распределения сводится к следующему:

1) рассчитывается средняя арифметическая ряда ;

2) рассчитывается среднеквадратическое отклонение σ;

3) находится нормированное отклонение каждого варианта от средней арифметической, т. е. ;

4) для найденных tпо табл. 26находится(теор);

5) рассчитывается константа ;

6) каждое значение (1) умножается на константуconst.

Результаты умножения (после округления до целых чисел) будут искомыми частотами теоретической кривой распределения.

После выравнивания ряда, т. е. исчисления теоретических частот возникает необходимость в проверке, «случайности» или «неслучайности» расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, и тем самым проверки правильности выдвинутой гипотезы об обоснованности нормального распределения. В этих целях рассчитываются критерии согласия:

а) Пирсона , где– «хи квадрат».

Полученные результаты расчетов значение сравнивается с табличным значением при принятом уровне значимости (0,10; 0,05; 0,01) к заданным числом степеней свободы. Число степеней свободы определяется как число групп в ряду распределения минус число параметров и минус единицаK–n–1.

При определении нормального распределения используется 2 параметра – это и σ, т. е., если К = 6, то число степеней свободы определяется 6 – 2 – 1 = 3.

Если фактическое значение оказывается меньше табличного, то расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами признается случайным и распределение не отвергается (рис. 6);

б) критерий Романовского

Если значение критерия Романовского меньше 3, то можно считать расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами случайным;

в) критерий Колмогорова

,

где d– максимальная разность между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами;n– число единиц совокупности.

При принятом уровне значимости и заданном числе степеней свободы по специальной таблице значений функции Колмогорова определяется расчетное значение критерия. Ниже представляется последовательность расчетов и их результаты (табл. 27).

В расчете использованы следующие статистические характеристики: ;;i= 1500.

Таблица 26