fizick_praktika_II
.pdf
дящие из заряда, если он положителен, и входящие в него, если он отрицателен (рис. 1.1).
E |
E |
+ |
- |
+q |
-q |
+ |
- |
+q |
-q |
E |
|
Рис. 1.1
Силовые линии – это незамкнутые, гладкие, непрерывные линии, начинающиеся на положительных и оканчивающиеся на отрицательных зарядах.
3.3. Принцип суперпозиции электростатических полей для напряженности
К кулоновским силам применим принцип независимости действия сил, т. е. результирующая сила F, действующая со стороны поля, созданного системой зарядов Q1, Q2, …Qn, на заряд q0, равна векторной сумме сил Fi, приложенных к нему со стороны каждого заряда Qi:
|
n |
|
F |
Fi . |
(1.3) |
i 1
Из выражений (1.1) и (1.3) следует:
11
|
n |
|
Е Ei . |
(1.4) |
|
i 1
Формула (1.4) выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей. Согласно этому принципу напряженность E результирующего электростатического поля, создаваемого системой электрических зарядов, равна геометрической сумме напряженностей электростатических полей, создаваемых в данной точке каждым из электрических зарядов в отдельности. Принцип суперпозиции позволяет рассчитывать электростатические поля любой системы неподвижных электрических зарядов, сводя их к совокупности точечных зарядов.
3.4. Потенциал электростатического поля. Принцип суперпозиции потенциала
Выражение для работы по перемещению заряда q в электростатическом поле заряда q:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
q q |
|
|
q q |
|
, |
(1.5) |
||
4 |
r |
4 |
r |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
0 1 |
|
0 |
|
2 |
|
|
||
где r1 и r2 – расстояния между зарядами q и q в начальной и конечной точках.
|
|
|
|
Заметим, что |
q q |
– это математическое выражение для по- |
|
4 0r |
|||
|
|
тенциальной энергии заряда q' в электростатическом поле:
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
q q |
. |
|
|
|
|
|||
|
пот |
|
4 0r |
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
A Wпот |
1 Wпот 2 . |
(1.6) |
||
Работа по перемещению заряда q' в электростатическом поле равна изменению потенциальной энергии этого заряда.
12
Принимается, |
что если r2 = , то Wпот2 = 0. Отношение |
||||
Wпот |
|
q |
|
не зависит от величины заряда q', помещенного |
|
4 0r |
|||||
q |
|
|
|||
в данную точку поля, а зависит от величины заряда q, создающего поля и расстояния r между зарядами q и q':
|
Wпот |
, |
(1.7) |
|
|||
|
q' |
|
|
где – скалярная физическая величина, потенциал электростатического поля. Таким образом, потенциал электростатического поля численно равен работе, совершаемой полем при перемещении единичного положительного пробного заряда по любому пути из данной точки поля в бесконечность.
При перемещении заряда q' из точки 1 в точку 2 электрического поля работа равна:
A q ' 1 2 . |
(1.8) |
Если электростатическое поле создано несколькими зарядами, то потенциал поля рассчитывается согласно принципу
суперпозиции электростатических полей.
Потенциал такого электростатического поля равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом в отдельности (с учетом знака заряда). Принцип суперпозиции электростатических полей для вычисления потенциала:
i . |
(1.9) |
i |
|
3.5. Эквипотенциальные поверхности
Для графического изображения распределения потенциала в электростатическом поле используются эквипотенциальные поверхности. Эквипотенциальная поверхность – это сово-
купность точек поля, имеющих одно и то же значение потен-
циала: = const .
13
Работа по перемещению заряда q' вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю:
A q 1 2 q 0 .
Линии напряженности поля перпендикулярны к поверхности равного потенциала в точке их пересечения. Из-
вестно, что работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю. С другой стороны, работу можно выразить следующим образом:
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
A Fd cos Fd |
|
|
|
|
|
q Ed cos Ed , |
||||
где |
|
|
|
|
|
Fd – скалярное произведение векторов F и d . |
|||||
|
Поскольку А = 0, а Е, q' и d не могут быть равны нулю, |
||||
|
ˆ |
|
ˆ |
|
. |
то тогдаcos Ed 0 и, следовательно, Ed |
|
||||
2
Примеры взаимного расположения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей приведены на рис. 1.2.
Заметим также, что эквипотенциальные поверхности, как правило, проходят так, что повторяют форму поверхности проводника, создающего поле. Так, например, эквипотенциальная поверхность для поля точечного заряда – сфера (рис. 1.2, а), для поля заряженных плоскостей – плоскость (рис. 1.2, б).
3.6. Связь между напряженностью E и потенциалом
электростатического поля
Проведем две бесконечно близкие эквипотенциальные по-
верхности: = const и ( + d ) = const (рис. 1.3). Вектор напряженности поля E в точках 1 и 2 перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям. Работа по перемещению заряда q' из точки 1 в точку 2 вдоль нормали n равна:
dA F dn q ' E dn
14
Или |
A q ' d q ' d . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Тогда |
q ' E dn q ' d , |
|
|||
|
|
E |
d |
, |
(1.10) |
|
|
|
|||
|
|
|
dn |
|
|
где ddn grad – градиент потенциала. Это векторная физи-
ческая величина, характеризующая быстроту изменения потен-
циала в пространстве вдоль нормали n . Знак минус в формуле (1.10) показывает, что вектор напряженности численно равен градиенту потенциала, но направлен в сторону убывания потенциала.
|
|
|
|
|
+d |
|
|
|
Эквипотен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
циальные |
|
|
|
|
|
поверхности |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2 |
n |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.2 |
|
Рис. 1.3 |
|
|
Если мы проведем из точки 1 координатную ось х, то она
составит угол с нормалью n (рис. 1.3). Если перемещение заряда q' происходит из точки 1 в точку 2', то
dA q ' Exdx , dA q ' d .
15
При этом Еx = Е cos и |
|
|
d |
|
|
|
|
Ex |
. |
|
(1.11) |
||
|
|
|
||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
Ez d . |
||||
В общем случае, E iEx jEy kEz , где Ey d |
; |
|||||
|
|
|
|
dy |
|
dz |
Экспериментальное исследование электростатического поля в простейших случаях и описание его при помощи силовых линий и поверхностей равного потенциала составляют содержание задачи этой работы. Ортогональность силовых линий и поверхностей равного потенциала существенно облегчает как экспериментальное, так и теоретическое исследование электростатического поля. Если найдены значения вектора напряжённости поля, то нетрудно будет построить поверхности равного потенциала. Справедливо и обратное: найденное положение поверхностей равного потенциала позволяет выстроить силовые линии поля. Необходимо заметить, что практически легче осуществить измерения и расчёт потенциалов электрического поля,
азатем определить его напряжённость.
Вданной работе рассматриваются два варианта выполнения работы. В первом варианте экспериментально исследуется физическая модель электростатического поля, при этом измеряемые физические величины выводятся на компьютер. Во втором варианте осуществляется компьютерное моделирование электростатических полей и их исследование.
Вариант 1
4.ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ИЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
4.1.Описание экспериментальной установки
Вработе моделируются плоские поля, потенциал и напряженность которых зависят лишь от двух координат. Такие поля су-
16
ществуют в коаксиальном конденсаторе, в длинной двухпроводной линии, между одиночным проводом и проводящей поверхностью ит. п. Проводящейсредойдлямоделиявляетсяпроводящаябумага. Электростатическое поле между электродами исследуют с помощью зонда – тонкого металлического стержня с изолирующей ручкой, который можно перемещать вдоль осей x и y. Вид экспериментальной установки представлен на рис. 1.4, а. Упрощенная схема экспериментальнойустановкипредставленанарис. 1.4, б.
а
|
|
|
|
|
Э 2 |
|
G |
= 28 |
В |
|
|
б |
G |
|
|
||
|
Unn = 28 |
V |
З |
||
|
|
R1 |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
штекер |
|
|
|
|
|
Штекер |
|
|
|
|
|
Э 1 |
Рис. 1.4. Вид экспериментальной установки (а); схема установки: G – источник тока; V – вольтметр; Э1 и Э2 – электроды; R1 – переменное сопротивление; З – зонд (б)
17
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вся схема, кроме прибора, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
измеряющего |
потенциалы |
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в различных |
точках |
поля, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
смонтирована на едином ла- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бораторном макете, на па- |
||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нели |
которого изображена |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и сама |
схема |
(рис. 1.5). На |
|||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоской подставке 1 закреп- |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лена |
проводящая |
бумага. |
||||||
Рис. 1.5. Общий вид установки для |
|||||||||||||||||||
В держатели 2 помещаются |
|||||||||||||||||||
исследования плоских электро- |
электроды |
требуемой |
кон- |
||||||||||||||||
статических полей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
фигурации. На рис. 1.5 |
изо- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бражены |
подковообразный |
|||||
электрод 3 и электрод в форме кольца небольшого радиуса 4. Для подсоединения измерительного прибора к различным точкам поля на панели предусмотрено штекерное гнездо и отдельный проводник с зондом 5. Функции измерительного прибора выполняет контроллер, показания которого выведены на экран компьютера.
В данной работе экспериментально определяется распределение потенциалов в электростатическом поле. В конечном счёте силовые линии исследуемых полей строятся как ортогональные линии к экспериментально найденным поверхностям равного потенциала.
4.2.Ход работы
1.Включите питание лабораторного макета, нажав кноп-
ку на панели прибора «Сеть» 
.
2.Включите питание компьютера и дождитесь загрузки
Windows.
3.На рабочем столе (на экране монитора после загрузки)
на ярлыке папки «Лаборатория» 
щелкните дважды левой кнопкой мышки. В открывшемся окне выберите из списка ла-
18
бораторную работу «Изучение электростатического поля»
идважды щелкните по ней левой кнопкой мышки.
4.Запустите работу командой «Start. bаt». На экране появляется панель.
5.Включите питание стенда, для чего щелкните левой кнопкой мышки по кнопке «Вкл.».
6.Установите электроды (конфигурация электродов указывается преподавателем).
7.Соедините зондовый проводник со штекерным гнездом на лабораторном макете.
8.Зонд соедините с ближайшим к схеме электродом (простым прижимом вручную) и выставите регулятором переменного сопротивления, расположенного на панели макета, нулевое значение напряжения («0» на шкале прибора). Отсчет ведите по шкале измерительного прибора на стенде.
9.Перемещая зонд, найдите отверстие на координатной сетке, соответствующее рекомендованным значениям (например, 1,0 В) на шкале измерительного прибора. Найдите 10–15 точек
для этого значения потенциала, нанесите на лист бумаги с координатной сеткой. Постройте эквипотенциальную поверхность, соединяя нанесенные точки плавной линией. Запишите рядом с ними показания милливольтметра.
10. Переместите зонд до |
второго электрода с шагом |
1–2 см, повторяя измерения и |
построения в соответствии |
спунктом 9.
11.Вычертите эквипотенциальные поверхности и силовые линии поля (силовые линии и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны, поверхность электрода является эквипотенциальной поверхностью). Число эквипотенциальных поверхностей составляет 5–10.
12.Вычислите для всех пар соседних эквипотенциальных поверхностей напряженность Еi по формуле
Ei i 1 i / ri , |
(1.12) |
|
19 |
где i и i+1 – потенциалы двух соседних эквипотенциальных
поверхностей, а ri – расстоя-
хние между ними вдоль осевой линии X; i – порядковый номер эквипотенциальной поверхно-
сти (рис. 1.6).
13. Постройте зависимость напряженности поля Еi от расстояния r до одного из двух электродов. Для этого по
оси Х отложите расстояния от электрода до каждой построенной эквипотенциальной поверхности (по осевой линии).
14. Определите направление вектора напряженности E , учитывая, что он направлен в сторону убывания потенциала.
15. Возьмите электрод другой формы, постройте эквипотенциальные поверхности и проследите влияние формы электрода на характеристики поля.
16. Выключитекомпьютеримакет, нажавкнопку «Сеть». ВНИМАНИЕ! Включение и выключение питания макета при включённомкомпьютереможетпривестикзависаниюкомпьютера.
Вариант 2
5. ИЗУЧЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В данной работе исследуется компьютерная модель электростатического поля, созданного несколькими неподвижными точечными зарядами, которые могут располагаться произвольным образом в предназначенной для этого произвольной области экрана. В ходе компьютерного эксперимента строится система линий равного потенциала (эквипотенциальные поверхности), линий напряженности (силовые линии), а также оценивается напряженность электростатического поля внескольких точках поля.
20