fizick_praktika_II

υz = –Acos( t–φ).

Третье уравнение имеет решение:

υy = const.

Проинтегрировав полученные выражения для проекций скоростей частицы, получим зависимости координат частицы (х, у, z) от времени при начальной скорости частицы υх(0),

υy(0), υz(0):

где R – радиус кривизны траектории движения, или так называемый радиус ларморова вращения частицы в магнитном поле;

– частота ларморова вращения.

где υ определяется по (12.5); |q| – модуль заряда частицы; m – масса частицы.

Частота вращения равна:

Вращаясь в плоскости хz, частица одновременно движется равномерно вдоль силовой линии магнитного поля со скоростью ║. За время, равное периоду вращения, она проходит путь, называемый шагом, величина которого равна:

где υ║ υy = const.

При заданных начальных условиях движение заряженной частицы в магнитном поле можно представить как сумму двух

171

независимых движений – поступательного и вращательного.

Траектория движения частицы представляет собой спираль с параметрами: R, h. Поступательное равномерное движение частица осуществляет в направлении силовой линии магнитного поля со скоростью υy (по (12.6) ускорение в этом направлении равно нулю). Вращательное движение частицы имеет место в плоскости, перпендикулярной вектору Ву (в плоскости xz).

Рассмотрим частные случаи движения заряженной частицы в магнитном поле.

1. Скорость движения заряженной частицы параллельна вектору магнитной индукции.

Частица влетает в магнитное поле со скоростью υy, парал-

лельной вектору напряженности магнитного поля Ву (υy υ║, υ = 0 по (12.5)). Угол между вектором начальной скорости движения частицы и направлением вектора магнитной индукции равен нулю (α = 0). В этом случае сила Лоренца, определяемая по (12.1), равна нулю. В соответствии с первым законом Ньютона частица по инерции продолжает движение в магнитном поле вдоль направления силовой линии с начальным значением ско-

рости υy(0). Траектория движения частицы – прямая линия.

2. Скорость движения заряженной частицы перпендику-

На частицу действует сила Лоренца, величина которой определяется по (12.1). Угол α между направлением скорости и направлением вектора магнитной индукции равен π/2 (α = π/2). Направление силы Лоренца в данном случае определяется с помощью правила левой руки: располагаем ладонь

172

левой руки так, чтобы в нее входил вектор B , а четыре вытянутых пальца направим вдоль вектора скорости . То-

гда отогнутый большой палец укажет направление силы Лоренца, действующей на положительный заряд. На

рис.12.2 показана взаимная ориентация векторов , B и F (для отрицательного заряда направление силы Лоренца определяется по правилу правой руки).

Поскольку F , сила Лоренца создает центростремительное ускорение и приводит к вращательному движению частицы в плоскости хz. Направление вращения частицы, как и направление силы Лоренца, зависит от знака заряда при прочих одинаковых начальных условиях. Радиус кривизны траектории определяется по (12.8) и является функцией четы-

рех параметров: R = f (m, q , B, υ ). Траектория движения час-

тицы – окружность.

угол α можно менять, изменяя соотношение между компонен-

тами скорости υ (0) и υ║(0):

tgα = υ (0)/υ║(0).

173

При α = const: радиус ларморова вращения R~υ и R~ 1/B

по (12.8) и шаг винта h~υ║ и h~1/B по (12.11).

Таким образом, в общем случае заряженная частица в постоянном магнитном поле движется по круговой ор-

бите в плоскости xz, перпендикулярной вектору B , и одно-

временно равномерно движется вдоль оси оу – вдоль направ-

Радиус кривизны траектории движения и шаг спирали зависят от угла между вектором начальной скорости частицы

и направлением вектора магнитной индукции B . Сила Лоренца, будучи перпендикулярной, к вектору скорости частицы , не изменяет ее величину и, следовательно, работы в магнитном поле не производит.

3.2. Движение заряженной частицы в параллельных постоянных и однородных магнитном и электрическом

полях ( E = const, B = const, E ║B )

Рассмотрим характер движения заряженной частицы при одновременном воздействии на нее постоянных и однородных магнитного и электрического полей.

E = Еу (Ех = Еz = 0),

т. е. вектор напряженности электрического поля и вектор магнитной индукции сонаправлены. Координаты частицы в начальный момент времени пусть равны нулю: х(0) = у(0) = z(0) = 0.

Начальную скорость частицы υ представим в виде (12.4):

,x z .

174

Очевидно, что υy υ║, υx, υz – компоненты вектора скоро-

сти υ в плоскости xz.

На частицу, находящуюся в магнитном и электрическом полях, действуют две силы: кулоновская, равная Fк = q E и сила

Для трех проекций это уравнение в декартовой системе координат имеет вид:

Решение системы уравнений (12.14) позволяет найти зависимость всех компонентов скорости заряженной частицы от времени. Подставив первое уравнение во второе, получим дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого записывается в виде

Интегрируя полученные выражения для проекций скоростей, получим зависимости координат частицы (х, у, z) от времени при начальной скорости частицы υх(0), υy(0), υz(0):

175

где R – радиус ларморова вращения частицы в плоскости хz,

– частота ларморова вращения. Радиус R определяется как

где υ определяется по (12.5); |q| – модуль заряда частицы, m – масса частицы.

Частота вращения равна

Вращаясь в плоскости хz, частица одновременно движется вдоль силовой линии магнитного поля со скоростью υ║. За время, равное периоду вращения, она проходит путь, называемый шагом, величина которого равна:

h = υ║Т = 2 υ║/ , где υ║ υу.

Движение со скоростью υу υ║ является ускоренным (12.15) и приводит к зависимости величины шага спирали от времени:

В силовом поле, созданном наложением сонаправленных магнитного и электрического полей, траектория движения частицы, как и при отсутствии электрического поля, – спираль. Однако теперь заряженная частица движется вдоль силовой линии магнитного поля с постоянным ускорением, обусловленным действием кулоновской силы. При этом шаг спирали, определяемый по (12.20), увеличивается с увеличе-

176

нием времени движения частицы. Как было показано выше, в отсутствие электрического поля движение вдоль силовой линии магнитного поля было равномерным, а величина шага спирали не зависела от времени движения частицы (12.11).

Таким образом, траектория движения заряженной

частицы в сонаправленных магнитном и электрическом полях в общем случае представляет собой спираль. Параметры траектории R (радиус кривизны траектории движения) и h (шаг спирали) следующим образом зависят от параметров сило-

вых полей: R f(E) и R 1/B по (12.17), тогда как h f(B) и h Е

по (12.20).

3.3. Движение заряженной частицы в скрещенных постоянных и однородных магнитном и электрическом

полях ( E = const, B = const, E B )

Рассмотрим характер движения заряженной частицы при одновременном воздействии на нее однородных магнитного и электрического полей при следующих начальных условиях:

По (12.22) вектор магнитной индукции направлен вдоль оси oz, а вектор напряженности электростатического поля – вдоль

оси оу (т. е. вектор напряженности электрического поля E лежит в плоскости движения частицы).

Пусть частица с зарядом q и массой m движется во взаимноперпендикулярных магнитном и электрическом полях. Начальную скорость частицы υ можно разложить на компоненты – параллельный направлению вектора магнитной индукции ( ║)

иперпендикулярный вектору магнитной индукции ( ). Тогда

,

177

т. е. пусть частица движется в плоскости xу, перпендикулярной

вектору магнитной индукции В (рис.12.3).

В рассматриваемом случае в плоскости ху на положительно заряженную частицу действуют две

178

Решение первого уравнения системы (12.27) позволяет найти зависимость всех компонент скорости заряженной частицы от времени. С учетом (12.25) решение первого уравнения (12.27) имеет вид:

υz = 0.

Подставив второе уравнение в третье, получим дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого записывается в виде

Если в (12.28) пренебречь величиной Еу/Bz (при Еу → 0), система уравнений (12.28), (12.29) описывает ларморово вращение заряженной частицы в плоскости ху, обусловленное действием на частицу силы Лоренца. Траектория движения частицы – окружность, а радиус траектории равен:

Присутствие в плоскости вращения частицы электрическо-

го поля приводит к возникновению зависимости модуля вектора скорости частицы от относительного направления векторов

E и . Так за время, равное периоду вращения, первую полови-

ну периода векторы E и будут сонаправлены, следовательно,

электрическое поле будет ускоряющим, и модуль вектора скорости частицы будет увеличиваться со временем движения. Во вто-

рую половину периода вращения частицы векторы Eу и

имеют противоположные направления, при этом электрическое поле становится замедляющим, что приведет к уменьшению модуля вектора скорости со временем движения. Таким образом,

под действием электрического поля вектор = f(t), а воздейст-

вие электрического поля на частицу, участвующую в ларморовом вращении в магнитном поле, приводит к изменению векто-

179

ра линейной скорости частицы (t) не только по направлению,

но и по величине в пределах времени, равном периоду ларморова вращения. В этой ситуации радиус ларморова вращения R в (12.30) становится величиной переменной и зависящей не

только от величины вектора E , но и от взаимного направления векторов E и (t). Вращаясь в плоскости ху, за первую

половину периода положительно заряженная частица получает энергию от электрического поля, что сопровождается увеличе-

нием и, следовательно, R по (12.30). За вторую половину пе-

риода положительно заряженная частица, двигаясь против поля, теряет энергию, что сопровождается уменьшением модуля век-

тора ее скорости и, следовательно, R по (12.30). Очевидно,

что теперь за время, равное периоду вращения, траектория движения частицы представляет собой две полуокружности с разными значениями ра-

180