3. Замена базиса линейного пространства.
Пусть в пространстве Rn заданы два базиса е1,е2, ... ,еn и f1, f2, f3…, fn, тогда каждый вектор из базиса f можно разложить по базису e, т.е.
Из координатных столбцов векторов fj в базисе e можно составить квадратную матрицу порядка n.
, которая называется, матрицей перехода от базиса e к базису f.
Она является невырожденной, т.е. А0. Значит, выражение можно записать в матричном виде. Умножая это равенство наТ-1 справа, получаем
fT-1=e или e = fT-1, т.е. Т-1 – матрица перехода от базиса f к базису e.
Пример 5. Найти координаты вектора в базисеесли он задан в базисе.
.
Решение. При переходе от базиса e к базису f координаты одного и того же вектора связаны формулами:
, ,
где T матрица перехода, которая находится из равенства f = eT.
Здесь . Найдем определитель матрицы:
(формула разложения определителя по третьей строке).
Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы T и обратную матрицу по формуле :
.
Таким образом, обратная матрица будет и, следовательно,
.
Окончательно имеем в базисе f: .
Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах выражается теоремой.
Теорема. Матрицы А и А* линейного оператора А(х) в базисах е1,е2, ... ,еn и f1, f2, f3…, fn связаны соотношением
A* = Т-1∙A∙Т,
где Т — матрица перехода от старого базиса к новому.
Пример 6. В базисе e1, e2 оператор А имеет матрицу . Найти матрицу этого же оператора в новом базисеf1, f2 , где .
Решение: составим матрицу перехода (координаты векторов нового базиса являются столбцами матрицы перехода) т.е. и найдем обратную матрицу Т-1. Т=5, .
- матрица оператора А в новом базисе.
Пример 7. Найти матрицу линейного преобразования в базисеесли она задана в базисе
, .
Решение. При переходе от базиса e к базису f матрица линейного преобразования, в соответствии с определением, будет иметь вид
,
где T матрица перехода, которая находится из равенства f = eT.
Здесь .
Найдем определитель матрицы:
(прибавили к элементам второго и третьего столбца соответствующие элементы первого столбца и записали формулу разложения определителя по первой строке).
Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы T и обратную матрицу по формуле :
.
Таким образом, обратная матрица будет и, следовательно,
.
Лекция 14. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
ЗАДАЧА.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
Определение 1. Ненулевой вектор X, удовлетворяющий условию
AX=X , (1)
называется собственным вектором преобразования A . Число в равенстве (1) называется собственным значением.
Из определения следует, что собственный вектор под действием линейного оператора А переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. просто умножается на некоторое число. В то же время несобственные векторы преобразуются более сложным образом. В связи с этим понятие собственного вектора является очень полезным и удобным при изучении многих вопросов матричной алгебры и ее приложений.
Равенство (1) записано в матричной форме: АХ = Х,
где X — матрица-столбец из координат вектора х, или в развернутом виде
(1)
Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:
(2)
Или в матричном виде (А - Е) = 0.
Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение х = 0 = (0,0,...,0). Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (2) был равен 0.
(3)
Определитель |А – ХЕ| является многочленом n-й степени относительно X. Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора А или матрицы А, а уравнение (3) — характеристическим уравнением оператора А или матрицы А.
Для отыскания собственных векторов необходимо:
1) составить характеристическое уравнение (3) и найти его корни 1, 2, 3 т.е. собственные значения;
2) составить систему (2), положив равным одному из найденных собственных значений, например: = 1, и найти ненулевое решение этой системы;
3) записать вектор который является собственным вектором данного преобразования, соответствующим собственному значению1 ;
4) проделать шаги 2), 3) для = 2 и = 3.
Следует иметь в виду, что собственные векторы определяются с точностью до произвольного множителя, т.е. если вектор X - собственный, то и вектор - собственный.
Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.
Если линейное преобразование имеет S одинаковых собственных чисел 0 , то говорят, что 0 имеет кратность S. Тогда ему соответствует не более S линейно независимых собственных векторов.
Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
.
РЕШЕНИЕ.
Запишем характеристическое уравнение данного линейного преобразования и найдем его корни:
Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть определитель. Для этого рекомендуется разложить определитель по элементам некоторой строки (столбца), предварительно получив в этой строке (столбце) два нуля, используя свойства определителей. В нашем случае сначала к первой строке прибавим вторую, получим
Теперь ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (-1):
Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, получаем:
или
Корнями этого уравнения являются три числа, 1 = -2, 2 = 3, 3 = 6.
В системе (2) положим = 1 = -2, тогда она примет вид:
Здесь первые два уравнения тождественны, поэтому одно из них можно отбросить
Применяя метод Гаусса, найдем общее решение этой системы:
Следовательно, первым собственным вектором, соответствующим = -2, является X1 = (p1 , p1 , 0) = p1 (1,1,0), p1 0.
Меняя p1 ,будем получать различные векторы, лежащие на одной прямой. Все они собственные.
Аналогично поступаем с собственными значениями 2 = 3, 3 = 6, т.е. находим соответствующие им собственные векторы
X2 = p2(1 , -1 , 1); p2 0, (2 = 3);
X3 = p3(1 , -1 , -2); p3 0, (3 = 6).
Собственные вектора X1, X2, X3 определены с точностью до произвольных чисел p1 , p2 , p3 .
Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
.
РЕШЕНИЕ
Характеристическое уравнение данного преобразования имеет вид
.
Корни этого уравнения 1 = 2 = -1, 3 = 5 являются собственными значениями.
Чтобы найти собственный вектор, соответствующий 1 = 2 = -1, полагаем в системе (2) = -1. Получим
Все три уравнения тождественны, поэтому два из них могут быть отброшены. Оставшееся уравнение содержит три неизвестные. Полагая =p1 , =p2 , находим = -p1 – p2 .
Вектор X1 = (-p1 – p2 , p1 , p2 ), где p1 и p2 - любые числа, одновременно не равные нулю, является собственным вектором линейного преобразования, соответствующим 1 = 2 = -1.
Аналогично находим, что вектор X2 = p3(1, 1, 1) является собственным вектором данного преобразования, соответствующим 3=5.
Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
.
РЕШЕНИЕ.
Характеристическое уравнение данного преобразования
.
Корни этого уравнения 1 = 2 = 3 = 1 являются собственными значениями.
Полагаем в системе (2) = 1:
.
Все три уравнения тождественны, поэтому, отбросив два из них, имеем .
Полагая , находим .
Вектор X = (5q – 2p; p; q), где p, q - любые числа, одновременно не равные нулю, является собственным вектором данного линейного преобразования.
Пример4. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Решение. Найдем собственные числа этой матрицы, для чего составим и решим характеристическое уравнение:
Приравняв к нулю это выражение, находим:
Находим собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям, для чего при каждом составляем и решаем систему:
а) при , получаем
что равносильно системе (здесь )
,
полагая в которой, например, ,находим,таким образом, собственный вектор, соответствующий собственному значению 3 есть
б) при , получаем
что равносильно уравнению (здесь ):,
полагая в котором сначала, ,а затем получаем еще два линейно независимых собственных вектора:
.
Лекция 15. Привидение квадратной матрицы к диагональному виду.
Наиболее простой вид принимает матрица А линейного оператора А, имеющего n линейно независимых собственных векторов el,e2,...,en с собственными значениями, соответственно равными 1, 2, 3, ... n. Векторы е1, е2, ... , en примем за базисные. Тогда A(ei) = iei (i = 1,2,..., n) или
A(еi) = a1ie1 + a2ie2 + ... + aiiei + ... + anien = iei,
откуда aij = 0, если i j, и аij = i, если i = j. Таким образом, матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:
.
Верно и обратное: если матрица А линейного оператора А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса — собственные векторы оператора А.
Можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.
Пример 1. Привести матрицу А = линейного оператора А к диагональному виду.
Решение. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора А, заданного матрицей .
Составляем характеристическое уравнение
или 2 - 2 - 35 = 0 , откуда собственные значения линейного оператора А 1 = -5, 2 = 7.
Находим собственный вектор х(1) = (х1, х2), соответствующий собственному значению 1 = -5. Для этого решаем матричное уравнение
или ,
откуда находим х2 = -1,5х1. Положив х1 = с, получим, что векторы х(1) = (с; -1,5с) при любом с 0 являются собственными векторами линейного оператора А с собственным значением 1 = -5.
Аналогично можно убедиться в том, что векторы х(2) = при любом с1 0 являются собственными векторами линейного оператора А с собственным значением 2 = 7 .
Так как координаты векторов х(1 )и x(2) не пропорциональны, то векторы х(1) и х(2) линейно независимы. Поэтому в базисе, состоящем из любых пар собственных векторов x(1) = (с; -1,5с) и х(2) = (т.е. при любых с0, c1 0, например, при с = 2, c1 = 6 из векторов x(1) = (2; - 3) и х{2) = (4; 6) и т.д.) матрица А будет иметь диагональный вид:
или .
Это легко проверить, взяв, например, в качестве нового базиса линейно независимые собственные векторы х(1) = (2; - 3) и x(2) = (4; 6). Действительно, матрица С перехода от старого базиса к новому в этом случае будет иметь вид C = (x(1), x(2)) = . Тогда матрица А в новом базисе х(1), x(2) примет вид: .
Или после вычислений , т.е. получим ту же диагональную матрицу, элементы которой по главной диагонали равны собственным значениям матрицы А.
Пример2.Пусть линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве , имеет в ортонормированном базисе матрицу. Построить в этом векторов пространстве базис из собственных оператораи найти матрицу операторав этом базисе.
.
Решение. 1) Найдем собственные числа оператора , для чего составим и решим характеристическое уравнение:
Приравняв к нулю, находим:
2) Находим собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям, для чего при каждом составляем и решаем систему:
а) при , получаем
что равносильно системе (здесь )
,
полагая в которой, например, , находим , таким образом, собственный вектор, соответствующий собственному значению 9 есть
б) при ,получаем,
что равносильно уравнению (здесь )
,
полагая в котором сначала, ,а затем получаем еще два линейно независимых собственных вектора:
.
3) Находим матрицу перехода к базису из собственных векторов и обратную к ней (столбцами матрицы перехода являются координатные столбцы векторов (см. раздел 1)):
.
4) Теперь по формуле (5.1) находим – матрицу линейного оператора в базисе из собственных векторов
Таким образом, матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов диагональная!
Лекция 16. Квадратичные формы.
При решении различных прикладных задач часто приходится исследовать квадратичные формы.
Определение 1. Квадратичной формой L(х1,х2,...,хn) от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:
L(х1, х2,...,хn) = .
Определение 2. Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы aij — действительные числа, причем aij = aji. Матрица А = (аij) (i, j = 1, 2, ..., n), составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.
Определение 3. Матрица, у которой все элементы аij = аji , называется симметрической.
В матричной записи квадратичная форма имеет вид: L = ХТАХ,
где X — матрица-столбец переменных. или .
Пример 1. Дана квадратичная форма L(x1, х2, х3) = 4х12 - 12х1х2 - 10х1х3 + х22 - 3x32. Записать ее в матричном виде.
Решение. Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 4, 1, —3, а другие элементы — половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому
►
Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.
Пусть матрицы-столбцы переменных X = (х1,х2,...,хn)Т и
Y = (y1,y2, ... ,yn)Т связаны линейным соотношением X = CY, где С = (cij) (i,j = 1,2,...,n) есть некоторая невырожденная матрица n-го порядка.
Тогда квадратичная форма
L = ХТАХ = (CY)ТA(CY) = (YТCТ)A(CY) = YТ(CТ AC)Y.
Итак, при невырожденном линейном преобразовании X = CY матрица квадратичной формы принимает вид: .
Пример 2. Дана квадратичная форма L(х1, х2) = 2x12 + 4x1x2 - 3x22. Найти квадратичную форму L(y1, y2), полученную из данной линейным преобразованием х1 = 2y1 – 3y2, x2 = y1 + y2.
Решение. Матрица данной квадратичной формы , а матрица линейного преобразования С =.
Следовательно, матрицу искомой квадратичной формы находим по формуле:
,
Значит квадратичная форма имеет вид L(y1, y2) = 13y12 - 34у1у2 + 3у22. ►
Определение 4. Квадратичная форма L = называется канонической (или имеет канонический вид), если все ее коэффициенты аij = 0 при i j: L = a11x12 + a22x22 + ... + annxn2 = ,а ее матрица является диагональной.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.
Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором она имеет канонический (и даже нормальный) вид.
Познакомимся с методами приведения квадратичной формы к каноническому виду: метод Лагранжа выделения полных квадратов и методом собственных векторов.
Пример 3. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму , заданную в евклидовом пространстве, к каноническому виду. Написать этот канонический вид.
Решение: матрица квадратичной формы имеет вид . Найдем собственные числа этой матрицы:. Соответственно ортонормированные собственные векторы:
Следовательно, в базисе из этих векторов, заданная квадратичная форма имеет вид ,
где соответствующие преобразования координат имеют вид: ►
Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.
Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.
Следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.
Лекция 17. Итоговое тестирование.
Лекция 18. Резерв.
Лекция 0. Входная контрольная работа за курс средней школы.