- •1.1 Понятие матрицы.
- •1.2. Операции над матрицами.
- •Свойства операции умножения матриц:
- •2.1. Понятие определителя 2-го и 3-го порядков
- •Свойства определителей
- •1. Методы вычисления определителей n – го порядка.
- •1. Понятие обратной матрицы
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
- •Алгоритм вычисления обратной матрицы методом элементарных преобразований (метод Гаусса)
- •Ранг матрицы. Совместность систем.
- •1. Матричные уравнения.
- •2. Системы линейных неоднородных уравнений
- •Теорема Кронекера – Капели:
- •1. Системы линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей
- •Решение систем по формулам Крамера.
- •1. Решение произвольных систем уравнений. Метод Гаусса.
- •1. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
Лекция 1. Матрицы. Действия с матрицами.
1.1 Понятие матрицы.
Определение 1. Матрицей А размера m n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений (называемых элементами матрицы),i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
, или
Определение 2. Две матрицы иодного размера называютсяравными, если они совпадают поэлементно, т.е. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
С помощью матриц легко записывать некоторые экономические зависимости, например таблицы распределения ресурсов по некоторым отраслям экономики.
Определение 3. Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n, а в противном случае прямоугольной.
Определение 4. Переход от матрицы А к матрице Ат , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы.
Виды матриц: квадратная (размера 33) - ,
прямоугольная (размера 25) - ,
диагональная - , единичная -, нулевая -,
матрица-строка - , матрица-столбец -.
Определение 5. Элементы квадратной матрицы порядка n с одинаковыми индексами называются элементами главной диагонали, т.е. это элементы: .
Определение 6. Элементы квадратной матрицы порядка n называются элементами побочной диагонали, если сумма их индексов равна n + 1, т.е. это элементы: .
1.2. Операции над матрицами.
10. Суммой двух матриц иодинакового размера называется матрица С = (сij), элементы которой определяются равенством сij = aij + bij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).
Свойства операции сложения матриц.
Для любых матриц А,В,С одного размера выполняются равенства:
1) А + В = В + А (коммутативность),
2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С ( ассоциативность).
20. Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, что и матрица А, причемbij = (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).
Свойства операции умножения матрицы на число.
(А) = ()А (ассоциативность умножения);
(А+В) = А+В (дистрибутивность умножения относительно сложения матриц);
(+)А = А+А (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).
Определение 7. Линейной комбинацией матриц иодинакового размера называется выражение видаА+В, где и - произвольные числа.
30. Произведением АВ матриц А и В соответственно размеров mn и nk называется матрица С размера mk, такая, что элемент сij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В, т.е. сij = ai1b1j+ai2b2j+…+aikbkj.
Произведение АВ существует, только в том случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.
Свойства операции умножения матриц:
(АВ)С = А(ВС) (ассоциативность);
(А+В)С = АС+ВС (дистрибутивность относительно сложения матриц);
А(В+С) = АВ+АС (дистрибутивность относительно сложения матриц);
АВ ВА ( не коммутативность).
Определение 8. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими или перестановочными.
Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.
Определение 9. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции:
Перемена местами двух строк (столбцов).
Умножение каждого элемента строки (столбца) на число, отличное от нуля.
Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).
Определение 10. Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований называется эквивалентной (обозначается ВА).
Пример 1.1. Найти линейную комбинацию матриц 2А–3В, если
, .
Решение:
, ,
.
Пример 1.2. Найти произведение матриц , если
.
Решение: т.к количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы, то произведение матриц существует. В результате получаем новую матрицу , где
В результате получим .
Лекция 2. Определители. Вычисление определителей второго, третьего порядка. Свойства определителей n-го порядка.