31

Лекция 10. Пространство арифметических векторов.

1. Основные понятия.

Определение 1. Множество £ называется линейным (векторным) пространством, если выполнены следующие условия:

Условие 1. В £ введена операция сложения элементов, т.е. x,y£ определено отображение <x,y>z£ (обозначение: z = x+y), обладающее следующими свойствами:

1. x +y = y + x;

2. (x + y) + z = x+ (y + z);

3. £, x£, x +  = x (элемент 0 называется нулевым);

4. x£, (-x), x + (-x) =  (элемент (-х) называется противоположным элементу х).

Условие 2. В £ введена операция умножения элементов на действительное число, т.е. R, x£ определено отображение <x>y£ (обозначение y = x), обладающее свойствами:

1. 1x = x;

2. (x) = ()x.

Условие 3. Операции сложения элементов и умножения их на число удовлетворяют законам дистрибутивности:

1. (x + y) = x + y;

2. ( + )x = x + x.

Элементы линейного пространства называются векторами.

Пространство £ называется действительным, если в £ операция умножения на число определена для действительных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.

Определение 2. Всякая упорядоченная совокупность из n действительных чисел называется действительным арифметическим вектором и обозначается символом х = (x₁, x₂, ..., x_n), где x_i — i-я компонента вектора х. Числа x₁, x₂, ..., x_n называются компонентами арифметического вектора х.

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономи­ке, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором х = (x₁, x₂, ..., x_n), а соответствующие цены — вектором y = (y₁, y₂, ..., y_n).

Определение 3. Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. х = у, если x_i = y_i, i = 1,2,..., n.

Над арифметическими векторами вводятся следующие операции:

1. Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = x+y, компоненты которого равны сумме соответствую­щих компонент слагаемых векторов, т.е. z_i = х_i + y_i, i = 1,2,...,n.

2. Произведением вектора х на действительное число  называет­ся вектор u = х, компоненты u_i которого равны произведению  на соответствующие компоненты вектора х, т.е. u_i = x_i , i = 1,2,...,n.

Например:

(2;5;7;9)+(3;0;8;-2)=(2+3;5+0;7+8;9+(-2))+(5;5;15;7),

5∙(3;5;8)=(5∙3;5∙5;5∙8)=(15;25;45).

Множество всех действительных арифметических векторов с введенными выше операциями сложения и умножения на число называется действительным пространством арифметических векторов и обозначается Rⁿ.

Следует отметить, что под х, у, z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линей­ным пространством.

Линейным пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей нату­рального числа n. Легко убедиться, что если х и у — многочлены степени не выше n, то они будут обладать всеми свойствами. Заме­тим для сравнения, что, например, множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу n, не является линей­ным пространством, так как в нем не определена операция сло­жения элементов, ибо сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени ниже n. А множество многочленов степени не выше n, но с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку в этом множестве не определена операция умножения элемента на число: такие многочлены нельзя умножать на отрицательные числа.