1. Определение линейного оператора

Одно из фундаментальных понятий матричной алгебры — понятие линейного оператора.

Рассмотрим два линейных пространства: Rⁿ размерности n и R^m размерности m.

Определение 1. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору х пространства Rⁿ ставится в соответствие единственный вектор у пространства R^m, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) А(х), действующий из Rⁿ в R^m, и записывают у = А (х).

Определение 2. Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов х и у пространства Rⁿ и любого числа  выполняются соотношения:

А(х + у) = А(х) + А(у) — свойство аддитивности оператора;
А(х) = А(x) — свойство однородности оператора.

Определение 3. Вектор у = А(х) называется образом вектора x, а сам вектор х — прообразом вектора у.

Если пространства Rⁿ и R^m совпадают, то оператор А отображает пространство Rⁿ в себя. Именно такие операторы мы будем рассматривать в дальнейшем.

Связь между вектором х и его образом у = А(х) можно выразить в матричной форме уравнением

Y = А∙Х,

где А — матрица линейного оператора, X = (х₁,х₂,...,х_n)^Т,

Y = (y₁, y₂,..., y_n)^Т - матрицы-столбцы из координат векторов х и у.

Пример 1. Пусть Являются ли линейными следующие преобразования?

Решение. Преобразование будет линейным, если все координаты образов векторов будут линейными комбинациями координат вектора . Здесь в преобразованиивторая координата равнаяне является линейной комбинацией, в преобразовании, аналогично, кроме того, третья координата имеет вид, что так же не является линейной комбинацией координат вектора. Значит, эти преобразования не являются линейными. Преобразованиеявляется линейным.

Пример 2. Пусть в пространстве R³ линейный оператор А,

в базисе е₁,е₂, е ₃ задан матрицей A = .

Найти образ у = А(х) вектора х = 4е₁ - Зе₂ + е₃.

Решение. По формуле Y = А∙Х имеем

Следовательно, у = 10e_l - 13e₂ - 18е₃. ►

2. Действия над линейными операторами.

Определение 4. Суммой двух линейных операторов А и В называется оператор (А + В), определяемый равенством: (А + В)(х) = А(х) + В(х).

Определение 5. Произведением линейного оператора А на число  называется оператор А , определяемый равенством (А)(х) = (А(х)).

Определение 6. Произведением линейных операторов А и В называется оператор АВ, определяемый равенством: (АВ)(х) = А(В(х)).

Можно убедиться в том, что операторы (А + В), А, АВ полученные в результате этих действий, удовлетворяют отмеченным выше свойствам аддитивности и однородности, т.е. являются линейными.

Определим нулевой оператор О, переводящий все векторы пространства Rⁿ в нулевые векторы 0(х) = 0, и тождественный оператор Е, действующий по правилу: Е(х) = х.

Пример 3. Выяснить, какие из заданных отображений в себя пространства арифметических векторов R³ являются линейными операторами. Выписать их матрицы в каноническом базисе:

А(х)=(х₁, х₂+1, х₃+2) – не является линейным оператором;
А(х)=(х₂ +х₃ ,2х₁ +х₂ , 3х₁ – х₂ +х₃) – является линейным оператором с матрицей .