1. Евклидово пространство.

Выше мы определили линейное (векторное) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на числа, ввели понятие размерности и базиса, а теперь в данном про­странстве введем метрику, т.е. способ измерять длины и углы. Это можно, например, сделать, если ввести понятие скалярного произведения.

Определение 1.1. Скалярным произведением двух векторов

х = (х₁, х₂, ..., х_n) и y = (y₁, y₂, ..., y_n) называется число

.

Скалярное произведение имеет экономический смысл.

Если x = (x_l, x₂, ..., x_n) есть вектор объемов различных товаров, а y = (y_l, y₂, ...,y_n) - вектор их цен, то скалярное произведение ( х, у ) выражает суммарную стоимость этих товаров.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. (x,y) = (у,х) — коммутативное свойство;

2. (x, y+z) = (y,x) + (x,z) — дистрибутивное свойство;

3. (x, у)= (x,y) — для любого действительного числа ;

4. (х,x)>0, если х — ненулевой вектор; (х,х)=0, если x — нуле­вой вектор.

Пример 1. Даны векторы х=(7;9;2;-1) и у=(-3;5;8;2), тогда их скалярное произведение будет равно (х,у)=7∙(-3)+9∙5+2∙8+(-1)∙2=-21+45+16-2=38.

Определение 1.2. Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указан­ным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называ­ется евклидовым пространством.

Определение 1.3. Длиной (нормой) вектора х в евклидовом пространстве называ­ется корень квадратный из его скалярного квадрата:

Имеют место следующие свойства длин любых векторов евклидова пространства:

1. |х| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

2. |x| = |||x| , где  — действительное число;

3. |(x,y)|  |x||y| - неравенство Коши-Буняковского;

4. |x+y|  |x| + |y| - неравенство треугольника.

Угол  между двумя векторами х и у определяется равенством

где 0 <  < .

Например: если х=(7;9;2;-1) и у=(-3;5;8;2), тогда их скалярное произведение будет равно (х,у)=7∙(-3)+9∙5+2∙8+(-1)∙2=-21+45+16-2=38.

Длины соответственно равны :

,

.

Угол  между двумя векторами х=(7;9;2;-1) и у=(-3;5;8;2) определяется равенством

где 0 <  < .

Определение 1.4. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Очевидно, что нулевой вектор ортого­нален любому другому вектору. Из определения следует, что если два ненулевых вектора ортогональны, то угол между ними равен /2 (т.к. cos /2 = 0).

Определение 1.5. Векторы е₁, е₂, ..._, е_n n-мерного евклидова пространства обра­зуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортого­нальны и норма каждого из них равна единице, т.е. если (e_i ,e_j ) = 0 при i  j и |е_i | = 1 при i = 1,2,...,n.

Сформулируем теперь (без доказательства) основную теорему.

Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве сущест­вует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса является система n единичных векторов e_i, у которых i-я компонента равна едини­це, а остальные компоненты равны нулю: е₁ = (1, 0,...,0)', е₂ =(0, 1,...,0)',..., е_n=(0, 0,...,1)' (канонический базис).

Процесс ортогонализации системы векторов a₁, a₂, a₃,..., a_m+1 называется построение системы векторов b₁, b₂, b₃,..., b_m+1 по следующим формулам :

b₁= a₁,

b₂=

b₃=

... ...

b_m+1= .

Справедливы следующие утверждения:

1. Система векторов b₁, b₂, b₃,..., b_m+1 является ортогональной.

2. Если векторы a₁, a₂, a₃,..., a_m+1 линейно независимы, то b₁, b₂, b₃,..., b_m+1 – ортогональная система ненулевых векторов.

Пример 1. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональную систему векторов: a₁=(2;0;1;1), a₂=(1;2;0;1), a₃=(0;1;-2;0).

Решение. Полагаем b₁= a₁=(2;0;1;1). Затем строим векторы b₂ и b₃:

Таким образом, векторы b₁=(2;0;1;1), b₂ = (0;2;-0,5;0,5) и b₃=(2/3;-1/3;-4/3;0) являются результатом ортогонализации данной системы векторов.

Пример 2. Применить процесс ортогонализации к следующей системе векторов, евклидова пространства :

.

Решение.Полагаем. Векторищем в виде,где_.

Так как

То .

Следовательно,

Наконец, вектор находим в виде следующей линейной комбинации векторов:

, где

Вычисляя скалярные произведения

,

находим значения коэффициентов:

Следовательно,

Таким образом, получаем следующую систему ортогональных векторов:

Разделив каждый вектор на его длину:

,

,

,

получим ортонормированный базис:

Лекция 13. Линейные операторы.