- •Глава 15. Определённый интеграл
- •§15.1.Понятие площади плоской фигуры. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции
- •15.1.1. Площадь многоугольника
- •§15.2. Определение интеграла и необходимое условие его существования
- •15.2.1Разбиение отрезка. Интегральные суммы. Определение интеграла (по Риману)
- •15.2.2.Необходимое условие интегрируемости функции
- •§15.3. Критерий интегрируемости
- •15.3.1. Определение сумм Дарбу
- •15.3.2. Свойства сумм Дарбу
- •§15.4. Критерий интегрируемости функции. Классы интегрируемых функций
- •15.4.1. Критерий интегрируемости функции
- •15.4.2. Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемость непрерывной функции
- •§15.5. Свойства определённого интеграла
- •Тогда объединение разбиений иобразует некоторое размеченное разбиениеотрезкас, для которого справедлива формула. Поэтому, с учетом неравенств (18)(20), имеем оценки
- •§15.6. Теоремы о среднем значении
- •§15.7. Определённый интеграл с переменным верхним пределом
- •§15.8. Основная формула интегрального исчисления (Формула Ньютона-Лейбница)
- •15.8.1. Основная формула интегрального исчисления
- •15.8.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
§15.6. Теоремы о среднем значении
Теорема 15.17. (Теорема о среднем значении). Пусть интегрируема на . Пусть при выполнены неравенства . Тогда
Тогда существует число , удовлетворяющее неравенствам такое, что
.
Если, кроме того, , то существует такое, что . т. е.
.
► Из теоремы 15.15 и того, что для любой постоянной выполнено равенство , следуют неравенства
.
Из них сразу получаем, что
.
Обозначив , получаем требуемое утверждение.
Если же , то она принимает все свои промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями на отрезке .
При этом, по доказанному,
,.
Как отмечено выше, число является значением функции ,т.е. и
.◄
Теорема. 15.18.(Обобщённая теорема о среднем значении). Пусть:
–интегрируемы на;
;
не меняет знак на.
Тогда существует , удовлетворяющее неравенствам такое, что
= .
Если, при этом, , то существует такое, что .
►Пусть, для определенности, на .
Тогда и
. (26)
По теореме 15.14, 0. Если оказалось, что , то из (26) следует, что =0 и теорема справедлива при любом значении . Если же ,то разделив на это число все части неравенств (26), получим, что
,
откуда, при получаем утверждение теоремы. Если, при этом,, то, как и в теореме 15.17, существуеттакое, что. ◄
§15.7. Определённый интеграл с переменным верхним пределом
Пусть интегрируема на. Тогда, по свойству аддитивности интеграла,интегрируема напри любом.
Определение. Рассмотрим функцию
(27)
Эта функция называется определённым интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 15.19. Если – интегрируема на, то.
► Достаточно доказать, что при приращение(при этом предполагается, что). По определению (27),
согласно теореме о среднем (при этом , где,). Приочевидно,и теорема доказана.◄
Теорема 15.20. Пусть интегрируема наи непрерывна в точке. Тогдаимеет производную в точке, причём.
►
По условию, непрерывна в точке, следовательно,,
как только . Но. Значит, при
,
что как раз и означает, что .◄
Определение. Если для всех справедливо равенство, то называетсяпервообразной функцией для функциина.
Можно рассматривать первообразную и на отрезке , тогда в точкедолжно выполнятся равенство, а в точке– равенство.
Следствие. Если, то(т.е.–первообразная для ). Иными словами, непрерывная функция имеет первообразную.
Замечание. Дадим графическую интерпретацию теоремы.
Площадь под графиком равна , а производная равна .
Замечание. Что будет, если функция не непрерывна? Пример ,
показывает, что (т. к. ), т.е.,
поэтому в случае точки разрыва утверждение теоремы может оказаться неверным. В этом случае производная функции существует, но не равна .
Рассмотрим ещё пример
В этом случае производная функции в точке не существует, однако существуют
§15.8. Основная формула интегрального исчисления (Формула Ньютона-Лейбница)
15.8.1. Основная формула интегрального исчисления
Теорема15.21. (Формула Ньютона-Лейбница). Если , то для любой первообразнойимеет место равенство.
►По следствию теоремы 15.20, первообразная существует. Если– любая другая первообразная, то существуеттакая, что, т.е.. Тогда, что и требовалось доказать.◄
Замечание. Разность часто обозначают .