Глава 16

5

Глава 16. Приложения определённого интеграла

§16.1.Геометрические приложения определённого интеграла

16.1.1. Площадь в полярных координатах

Теорема 16.1. (Площадь в полярных координатах).

Пусть фигура представляет собой часть угла: , ограниченную графиком — непре-рывная на функция. Тогда

►Рассмотрим разбиение отрезка и соответствующие ему нижнюю и верхнюю суммы Дарбу для интеграла из формулировки теоремы. По известной из школьного курса формуле для площади кругового сектора, эти суммы представляют собой площади фигур .

При измельчении разбиения эти суммы и , где , стремятся к общему значению: , которое и равно искомой величине площади, поскольку и — квадрируемые фигуры.◄

16.1.2.Объём пространственного тела (принцип Кавальери)

Напомним, что плоская фигура P называется имеющей площадь (квадрируемым множеством), если:

при этом общее значение этих величин называется её площадью .

Определение объема тела можно дать вполне аналогичным определению площади фигуры образом. Именно, считая известным понятие объема многогранника, рассмотреть множество объемов содержащихся в данном теле многогранников и множество объемов содержащих данное тело многогранников.

Определение. Если точная верхняя грань первого из рассматриваемых множеств равна точной нижней грани второго, то тело называется кубируемым, или имеющим объем, равный общему значению этих точных граней.

Теорема 16.2. Если тело представляет собой прямой цилиндр высоты в основании которого лежит квадрируемая фигура с площадью то — кубируемо, причем

►Пусть . Рассмотрим многоугольники такие, что

Построим содержащийся в и содержащий многогранники высотой , в основании которых лежат, соответственно, и Тогда объемы этих многогранников отличаются друг от друга на величину Ввиду произвольности , теорема доказана.◄

Теорема 16.3. (Принцип Кавальери). Пусть — пространственное тело, а оси в пространстве расположены так, что любое сечение этого тела, перпендикулярное оси , представляет собой квадрируемую фигуру с площадью причем для любых проекция одного из сечений на плоскость целиком содержится в проекции другого сечения. Тогда — кубируемое тело, и

►Для произвольного разбиения отрезка суммы Дарбу представляют собой объемы тел, содержащихся внутри (нижняя сумма Дарбу) и содержащих (верхняя сумма Дарбу). Поскольку интегрируема, при измельчении разбиения разность между верхней и нижней суммой Дарбу стремится к нулю. Это означает, что имеет объем, причем ◄

Следствие. Объем тела, полученного вращением вокруг оси OX графика функции равен

 Площадь круга радиуса равна . Осталось применить доказанную формулу.

.

§16.2. Приложения определенного интеграла к задачам экономики

16.2.1. Объем выпускаемой продукции

Ранее отмечался экономический смысл определенного интеграла, выражающего объем произведенной продукции при известной функции производительности труда.

Если в функции Кобба-Дугласа ( ) считать, что затраты труда линейно зависят от времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид . Тогда объем выпускаемой продукции за лет составит:

(1)

Пример. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .

. Используем метод интегрирования по частям.

Следовательно, (усл.ед. ).

16.2.2. Дисконтированный доход

Определение. Определение начальной суммы по её конечной величине, полученной через время (лет) при годовом проценте (процентной ставке) , называется дисконтированием.

Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капиталовложений.

Пусть – конечная сумма, полученная за лет, и –дисконтируемая (начальная) сумма, которую в финансовом анализе также называют современной суммой. Если проценты простые, то , где – удельная процентная ставка. Тогда . В случае сложных процентов и потому .

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией и при удельной норме процента, равной , процент

начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход за время t вычисляется по формуле:

(2)

Пример. Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10млн. руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1млн.руб..

Очевидно, капиталовложения задаются функцией . Тогда по формуле (2) дисконтированная сумма капиталовложений .

Интегрируя аналогично предыдущему примеру, получим К=30,5 млрд.руб.. Это значит, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млн. руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млн. руб. при той же процентной ставке, начисляемой непрерывно.

16.2.3. Коэффициент Джини.

Исследуя кривую Лоренца- зависимость процента доходов от процента имеющего их населения (кривую ОВА, рис. 1), можем оценить степень неравенства в распределении доходов населения.

Определение. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца вырождается в прямую- биссектрису ОА, поэтому площадь фигуры ОАВ между биссектрисой ОА и кривой Лоренца, отнесенная к площади треугольника ОАС (коэффициент Джини), характеризует степень неравенства в распределении доходов населения.

Рис. 1. По оси ОХ- доля населения (%), по оси ОУ- доля доходов (%).

Пример. По данным исследований в распределении доходов в одной из стран кривая Лоренца ОВА (рис. 1) может быть описана уравнением , где - доля населения, а - доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини.

Очевидно, коэффициент Джини .

Поэтому .

С помощью замены, например, можно вычислить .

Итак, коэффициент Джини .

Высокий коэффициент Джини указывает на неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.