- •Глава 15. Определённый интеграл
- •§15.1.Понятие площади плоской фигуры. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции
- •15.1.1. Площадь многоугольника
- •§15.2. Определение интеграла и необходимое условие его существования
- •15.2.1Разбиение отрезка. Интегральные суммы. Определение интеграла (по Риману)
- •15.2.2.Необходимое условие интегрируемости функции
- •§15.3. Критерий интегрируемости
- •15.3.1. Определение сумм Дарбу
- •15.3.2. Свойства сумм Дарбу
- •§15.4. Критерий интегрируемости функции. Классы интегрируемых функций
- •15.4.1. Критерий интегрируемости функции
- •15.4.2. Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемость непрерывной функции
- •§15.5. Свойства определённого интеграла
- •Тогда объединение разбиений иобразует некоторое размеченное разбиениеотрезкас, для которого справедлива формула. Поэтому, с учетом неравенств (18)(20), имеем оценки
- •§15.6. Теоремы о среднем значении
- •§15.7. Определённый интеграл с переменным верхним пределом
- •§15.8. Основная формула интегрального исчисления (Формула Ньютона-Лейбница)
- •15.8.1. Основная формула интегрального исчисления
- •15.8.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
§15.2. Определение интеграла и необходимое условие его существования
15.2.1Разбиение отрезка. Интегральные суммы. Определение интеграла (по Риману)
Определение. Точки задаютразбиение отрезка . Для краткости будем обозначать разбиение буквой.
Обозначим
Определение. Наибольшее из чисел называетсядиаметром разбиения и обозначается
Определение. Если произвольным образом выбрать точки то получитсяразбиение с отмеченными точками
Иногда, для краткости, будем обозначать набор точек символом
Перейдем к основным определениям.
Определение. Пусть функция определена на отрезке, и пусть задано разбиениеэтого отрезка с отмеченными точкамиИнтегральной суммой называется величина .
Для обозначения интегральной суммы будем использовать символ , или просто.
Д
Определение. Пусть существует число такое, что для любогосуществует числотакое, что для любого разбиенияотрезка, удовлетворяющего условию, и для любого выбора точеквыполняется неравенство
Тогда функция называетсяинтегрируемой (по Риману) на отрезке ,(что часто обозначают так:) а число называется ееинтегралом по отрезку . Интеграл обозначается символом
15.2.2.Необходимое условие интегрируемости функции
Теорема 15.2. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на.
►Возьмем в определении интеграла = 1 и рассмотрим соответствующее ему. Пусть– любое разбиение, удовлетворяющее условию .
Для того, чтобы убедиться в справедливости теоремы, достаточно доказать, что при всех , = 1,…, функция ограничена на отрезке, т.е.. Действительно, тогда для имеем при : , т.к.входит в некоторый отрезоки, значит |.
Выберем любое , = 1,…, и представим интегральную сумму в виде
(1)
Зафиксируем произвольным образом числа,…,,,…,выбранные в соответствующих промежутках. При этом первое и третье слагаемые в равенстве (1) примут определенное фиксированное значение. Обозначим сумму этих слагаемых буквойK. Таким образом, при любом
(2)
По условию, функция интегрируема, значит ||<1, т.е. –1<<1, или.
Откуда, учитывая (2),
,
, (3)
Левая и правая части неравенств (3) представляют собой величины, не зависящие от . Поэтому неравенства (3) означают, что . Теорема доказана.◄
§15.3. Критерий интегрируемости
15.3.1. Определение сумм Дарбу
При исследовании вопроса о существовании интеграла важную роль играют так называемые суммы Дарбу (Г. Дарбу (18421917)).
По доказанной теореме 15.2 функция ограничена наи, следовательно, для любого разбиенияотрезка она ограничена на всех отрезках (т.е. множество её значений на этом отрезке ограничено сверху и снизу). Обозначим точную верхнюю грань, а точную нижнюю грань множества значений функции на
Определение. Числа и называются, соответственно, верхней и нижней суммами Дарбу функции для разбиенияна отрезке.
Теорема 15.3. Верхняя сумма Дарбу представляет собой точную верхнюю грань, а нижняя сумма Дарбу точную нижнюю грань множества значений интегральных сумм при заданном разбиении и всевозможных выборах точек.
►Проведем его для верхней суммы Дарбу. Для нижней суммы рассуждения вполне аналогичные.
Во-первых, для любого и для любой точки имеет место неравенство (по определению). Значит,
, . (4)
Суммируя неравенства (4) по всем получаем
.
Таким образом,— верхняя грань множествапо всевозможным выборам.
Осталось доказать, что — точная верхняя грань этого множества. Для этого возьмем произвольноеПоскольку— точная верхняя грань множества значенийна отрезке, , существует точка такая, что ,и
, . (5)
Суммируя неравенства (5) по получаем, что
,
т.к. (суммарная длина отрезков, составляющих отрезок , равна длине этого отрезка).
Итак, доказано, что для любого можно так выбрать точки, что, что как раз и означает, что, где верхняя грань взята по всевозможным выборам точек . Теорема доказана.◄
Замечание. Очевидны неравенства: .
Дадим графическую иллюстрацию введённых понятий.
Заметим, что нижняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению , представляет собой площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке есть нижняя из 3 ломаных, отмечена жирной линией.
Верхняя сумма Дарбу — это площадь многоугольника, верхняя граница которого — верхняя из 3 ломаных линий, отмечена еще более жирной линией.
Наконец, интегральная сумма, соответствующая выбору точек — это площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке заключена между описанными выше линиями и изображена простой линией.