Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

241

Лекция 30

3.13. Электромагнитные колебания

В электрической цепи, содержащей конденсатор и катушку индуктивности (или проводники, обладающие отличными от нуля ёмкостью и индуктивностью) – колебательном контуре – могут возникать электромагнитные колебания. Если сообщить конденсатору заряд и замкнуть цепь, то конденсатор будет разряжаться через катушку. По катушке будет идти переменный ток, который по закону электромагнитной индукции будет создавать в катушке индуцированное электрическое поле, препятствующее изменению тока. Конденсатор будет разряжаться и перезаряжаться, а ток в цепи расти, убывать и менять направление: заряд конденсатора и ток в цепи будут изменяться периодически, т. е. будут происхо-

дить электромагнитные колебания.

3.13.1. Свободные незатухающие колебания (R = 0)

Схема электрической цепи, в которой происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания, представлена на РИС. 30.1. Так как сопротивление цепи равно нулю, ток будет изменяться по модулю и направлению, а конденсатор перезаряжаться неограниченно долго – возникнут свободные незатухающие электромагнитные колебания.

d2q q 0 . dt2 LC

Это дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний (см. 1.14.2).

Общее решение этого уравнения

A и φ – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.

Пусть в начальный момент времени заряд конденсатора равен q0, а тока в цепи нет. Подставим начальные условия в общее решение (30.4) и формулу (30.5):

Напряжение на конденсаторе

Графики зависимостей q(t) и I(t) при указанных начальных условиях показаны на РИС. 30.2А, Б. Видно, что ток опережает заряд конденсатора (и напряжение на кон-

Энергия электромагнитного поля в колебательном контуре (энергия колебательного контура) складывается из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки:

где qm, Im – соответственно амплитуды заряда конденсатора и тока в цепи. Студенты доказывают утверждение (30.6) самостоятельно.

244

– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (см. 1.14.3). Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными ко-

эффициентами. Его характеристическое уравнение

Эти корни могут быть как действительными, так и комплексными. Общее решение дифференциального уравнения (30.8)

– апериодическое решение (разрядка конденсато-

ра). График этого решения представлен на

РИС. 30.4 (q0 – заряд конденсатора при t = 0). 0 t

ωω02 β2

–циклическая частота свободных затухающих колебаний. Общее решение удобно представить в виде

где A0 и φ – постоянные интегрирования, значения которых определяются из начальных условий.

Период затухающих колебаний

Амплитуда затухающих колебаний

A t A0e βt ;

245

затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания с переменной амплитудой:

Рис. 30.5

Зависимость тока в цепи от времени

Выразим логарифмический декремент через другие характеристики колебаний:

Время релаксации – время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз:

246

Число колебаний за время релаксации, т. е. число колебаний, за которое их ам-

плитуда уменьшается в e раз,

Отсюда ясен физический смысл логарифмического декремента затухания. Добротность колебательного контура

В колебательной системе с затуханием происходит диссипация энергии. Так как электрическое сопротивление цепи отлично от нуля, энергия электромагнитного поля переходит во внутреннюю энергию проводников.

Энергия колебаний пропорциональна квадратам амплитуд всех колеблющихся

Относительное уменьшение энергии за период

Чем выше добротность колебательной системы, тем медленнее убывает энергия колебаний.

3.13.3. Вынужденные колебания

247

– дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний. Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

общее решение ОДУ частное решение НДУ

Общее решение однородного дифференциального уравнения [(30.8) или (30.12) без правой части] быстро затухает, далее мы его учитывать не будем. Найдём коэффициенты q0 и φ0 в частном решении неоднородного уравнения [и убедимся в том, что это решение действительно имеет вид второго слагаемого в выражении

(30.13)].

Подставим в (30.12):

получим

Ω2q0 cos Ωt φ0 2βΩq0 sin Ωt φ0 ω02q0 cos Ωt φ0 F0 cosΩt .

Преобразуем левую часть этого равенства:

248

Итак,

– колебания заряда опережают вынуждающую ЭДС по фазе на θ;

– амплитуда заряда конденсатора.

Запишем окончательные выражения зависимостей заряда конденсатора и силы тока в цепи от времени:

Обозначим

Z U0 I0

– полное сопротивление (импеданс) цепи. (Эта величина вводится по аналогии с законом Ома для участка цепи U = IR: если сопротивление R проводника – это коэффициент пропорциональности между током и напряжением на этом участке, то

249

импеданс Z – это коэффициент пропорциональности между амплитудным значением тока и амплитудным значением напряжения на клеммах участка цепи, т. е. вынуждающей ЭДС.)

Выразим полное сопротивление цепи, а также сдвиг фаз между зарядом конденсатора и вынуждающей ЭДС через её параметры R, L, C: