Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

140

Поверхностная плотность электрического заряда – заряд, приходящийся на единичный участок поверхности заряженного тела:

Объёмная плотность электрического заряда – заряд, приходящийся на уча-

сток заряженного тела единичного объёма:

Электрический заряд тела выражается через плотности заряда следующим образом:

здесь l, S, V – соответственно длина, площадь поверхности и объём заряженного тела.

Электрический ток – упорядоченное движение электрически заряженных частиц.

3.1.3. Электромагнитное поле

Электромагнитное поле – физический объект – действует на электрически заряженные частицы.

Для того чтобы охарактеризовать электромагнитное поле в какой-либо точке пространства, мысленно вносим в эту точку пробный заряд.

Пробный заряд – это материальная точка, имеющая положительный электрический заряд, настолько малый, чтобы не искажать электромагнитное поле, т. е. не изменять расположение заряженных тел, создающих это поле.

Здесь F1 – составляющая силы, которая не зависит от скорости пробного заряда, а F2 зависит в т. ч. от скорости пробного заряда.

Попробуем ввести характеристики, которые определяли бы поле и не зависели бы от свойств заряженного тела, помещённого в это поле. Для этого рассмотрим две

141

Таблица 18.1

43 Демонстрации «Силовые линии электрического поля» и «Силовые линии магнитного поля» рекомендуется показывать последовательно одну за другой.

142

Таблица 18.1 (продолжение)

Для того чтобы охарактеризовать электромагнитное поле как единый объект, нужно ввести два вектора – E и B .

Основные характеристики электромагнитного поля

143

Вспомогательные характеристики электромагнитного поля

(в вакууме)

(в вакууме)

– электрическая постоянная – магнитная постоянная

Электрическая и магнитная постоянные не имеют физического смысла, они – константы СИ. Физический смысл имеет величина

– скорость электромагнитных волн в вакууме.

Вспомогательные силовые характеристики нужны для описания электромагнитного поля в веществе (см. 3.3.3 и 3.11.2).

3.1.5. Принцип суперпозиции полей

Этот принцип следует из опыта.

зарядов

Для дискретного распределения

токов

E Ei ,

B Bi .

144

3.1.6. Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла постулируются. Они – обобщение опытных фактов - законов электродинамики. Мы рассмотрим каждый из этих законов в дальнейшем.

макротоки – упорядоченное движение заряженных частиц на расстояния, много большие межмолекулярных расстояний.

Вуравнениях I, II L – произвольная замкнутая кривая, S – произвольная поверхность, ограниченная этой кривой.

Вуравнениях III, IV S – произвольная замкнутая поверхность, V – объём, ограниченный этой поверхностью.

3.1.7. Материальные уравнения

Материальные уравнения – уравнения, связывающие основные и вспомога-

тельные характеристики электромагнитного поля: E и D , B и H . Их вид зависит от природы вещества, в котором существует электромагнитное поле.

Вещество состоит из молекул, в которых заряженные частицы (связанные заряды) движутся друг относительно друга (микротоки) и создают собственное электромагнитное поле, которое накладывается на поле свободных зарядов и макротоков.

Для изотропных диэлектриков, несегнетоэлектриков45

D ε0εE ,

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость вещества. В вакууме ε = 1.

Для изотропных магнетиков, неферромагнетиков

44Более подробно об уравнениях Максвелла – в ПАРАГРАФЕ 3.12. Элементы векторного анализа, использующиеся в уравнениях Максвелла, рассмотрим в течение семестра.

45Сведения о сегнетоэлектриках см., например, в книге [4].

145

где µ – относительная магнитная проницаемость вещества. В вакууме µ = 1.

3.2. Постоянное электрическое поле в вакууме

3.2.1. Электростатическое поле в вакууме

146

Лекция 19

3.2.2. Закон Кулона. Расчёт напряжённости электрического поля методом суперпозиции

Закон Кулона: сила взаимодействия двух точечных зарядов

(см. РИС. 19.1; на этом рисунке заряды q1 и q2 одного знака).

Напряжённость электрического поля точечного заряда

Силовые линии электрического поля точечного заряда представлены на РИС. 19.2.

Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды (или заряды другой формы, поле которых легко рассчитать) и затем просуммировать (проинтегрировать) напряжённости полей этих зарядов.

штриховой линией показано основание этого конуса). Проекции этих векторов на

угол θ показан на РИС. 19.3. Величины r и θ одинаковы для всех элементов dq:

В этом выражении все величины – постоянные, кроме dq. Проинтегрируем по q:

Предельные случаи

2) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого прямого стержня

Тонкий стержень длиной AB = l имеет заряд Q > 0, равномерно распределённый по длине стержня. Найти напряжённость электрического поля в точке, находящейся на перпендикуляре к стержню, проходящем через его середину, на расстоянии b (точка C на РИС. 19.4).

Разобьём стержень на малые отрезки, имеющие малый заряд dq. Напряжённость поля точечного заряда

148

A

Суммарный вектор напряжённости электрического поля будет направлен перпендикулярно стержню, так как вследствие симметрии распределения заряда

угол α показан на РИС. 19.4. Это выражение нельзя интегрировать, так как в нём присутствуют три зависящих друг от друга переменные: q, r, α. Свяжем их друг с другом; для интегрирования будет удобнее всё выразить через α.

Расстояние от элемента dq до точки C

r cosb α .

Выразим заряд dq. Этот заряд занимает участок стержня длиной dl,

dq τdl ,

τ – линейная плотность заряда стержня. Так как стержень заряжен равномерно,

τ Ql .

Выразим длину элементарного отрезка dl через угол dα, под которым этот отрезок виден из точки C:

149

Подставим выражения для r и dl в выражение для dEx:

(стержень виден из точки C под углом 2α0). Из РИС. 19.4

Предельные случаи

3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля

Элементарный поток

ческого поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченной этой поверхностью, делённой на ε0:

46 Если поверхность S не замкнута, то выбор одного из двух направлений нормали произволен, при этом направление нормали для всех участков dS должно быть одинаковым.