Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

331

Лекция 43

6.3. Тепловое излучение. Фотонный газ

6.3.1. Тепловое излучение и его характеристики

Тепловое излучение – электромагнитное излучение, испускаемое телами за счёт их внутренней энергии. Оно свойственно всем телам при любой температуре. Речь пойдёт о равновесном излучении, т. е. находящемся в термодинамическом равновесии с излучающим телом.

Энергетическая светимость (интегральная излучательная способность) – энергия, испускаемая телом в единичный промежуток с единичного участка поверхности тела по всем направлениям:

Спектральная излучательная (испускательная) способность – энергия, ис-

пускаемая с единичного участка поверхности тела в единичный промежуток времени по всем направлениям в единичном интервале частот77 (длин волн):

Связь интегральной и спектральной излучательных способностей:

Спектральная поглощательная способность – безразмерная величина, равна доле энергии, падающей на поверхность тела в интервале частот от ω до ω + dω, которая поглощается этим телом:

adWпогл . ω,T dWпад

Плотность энергии излучения – энергия излучения в единичном объёме:

77 В этом параграфе частота – это циклическая частота ω. Все формулы, содержащие эту величину,

можно записать через частоту ν 2ωπ .

332

Спектральная плотность энергии излучения– плотность энергии излучения,

приходящаяся на единичный интервал частот78:

Связь uω, T и wT:

Пусть на чёрную (см. 6.3.2) стенку летит поток фотонов, падающих по нормали к поверхности тела. Плотность потока фотонов равна n, т. е. на единичный участок стенки падает в единичный промежуток времени vn фотонов. При поглощении

Пусть в единичном объёме полости, заполненной равновесным тепловым излучением, находится dnω фотонов с частотой от ω до ω = dω. Энергия этих фотонов

Фотоны летят внутри полости по всем направлениям. Число ударов фотонов о стенку в единичный промежуток времени равно 14 vdnω . Поэтому

dW 4v ωdnω .

Эта же величина равна rω, Tdω. Из этого следует

Спектральная и интегральная плотность энергии равновесного теплового излучения не зависят от природы излучающего тела, а зависят только от температуры и частоты.

6.3.2. Чёрное и серое тело. Закон Кирхгофа

Серое тело – тело, поглощательная способность которого не зависит от частоты (длины волны) падающего излучения, притом что она меньше единицы:

aω,T aT 1.

78 Аналогично можно ввести uλ, T, aλ, T.

333

Чёрное тело (абсолютно чёрное тело) – тело, поглощающее всё падающее на него излучение:

отверстие, практически не выходит из него, т. е. отверстие является чёрным телом.

Демонстрация: Модель абсолютно чёрного тела

Закон Кирхгофа: отношение спектральной поглощательной и излучательной способностей тела не зависит от его природы, а является универсальной функцией частоты (длины волны), равной спектральной излучательной способности чёрного тела;

rω,T r0 .

aω,T ω,T

где dWпад – энергия излучения в том же диапазоне, падающего на ту же площадку в тот же промежуток времени; по определению спектральной излучательной способности

dWизл rω,TdωdSdt .

На участок поверхности чёрного тела площадью dS падает за время dt столько же излучения, что и на участок поверхности нечёрного тела той же площади:

dWпад dWпад0 .

334

Но чёрное тело поглощает всё падающее на него излучение и, следовательно, столько же излучает:

Из этих равенств следует, что

Демонстрация: Кубок Лесли

6.3.3. Фотонный газ. Подсчёт числа фотонов с энергией от ε до ε + dε

Так как фотоны – бозоны (спин фотона s = 1), они подчиняются статистике БозеЭйнштейна; функция распределения по фазовым ячейкам

Разберёмся, чему равен химический потенциал μ фотонного газа. Число частиц N ≠ const, так как фотоны непрерывно поглощаются и излучаются. Фотонный газ стремится к минимуму внутренней энергии U за счёт изменения N:

С учётом равенства нулю химического потенциала функция распределения запишется как

(здесь и далее в этом разделе мы опускаем индекс i). По определению функции распределения

где dNε – число фотонов с энергией от ε до ε + dε, dg – число ячеек, соответствующих этой энергии.

Число фазовых ячеек в фазовом объёме dΓ, в котором энергия частиц лежит ε до

ε + dε,

dg hd3Γ2 ,

так как h3/2 – объём фазовой ячейки. Поскольку энергия фотона не зависит от координаты,

335

где V – объём полости, в которой находится фотонный газ, dΓp – элемент объёма в подпространстве импульсов. Так как энергия фотона зависит только от модуля импульса, а не от его направления, выбираем dΓp в виде тонкого сферического слоя радиуса p и толщины dp (РИС. 42.3):

Так как энергия фотона ε = cp (c – скорость света в вакууме; если излучение распространяется в среде, в всех формулах этого параграфа можно заменить c на v),

6.3.5. Законы излучения чёрного тела

1.Закон Кирхгофа

2.Закон Планка

3.Закон Стефана-Больцмана: интегральная излучательная способность чёрного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры:

Интегральная излучательная способность чёрного тела

Интеграл в этом выражении – это константа, табличная величина. Поэтому RT ~ T4, ч. т. д.

337

4.Закон смещения Вина: длина волны, соответствующая максимуму спектральной излучательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре;

Условие максимума спектральной излучательной способности

drλ ,T 0. dλ

из формулы Планка

Это трансцендентное уравнение, имеющее корень x0:

На РИС. 43.4 показано, как изменяется спектральная излучательная способность rλ, T в зависимости от температуры излучающего чёрного тела. Более нагретое тело излучает больше во всём диапазоне длин волн; максимум его спектральной излучательной способности смещён в сторону более коротких волн.

rλ, T

T2 > T1

T1

Рис. 43.4

Демонстрация: Закон Вина

5. Формула Рэлея-Джинса

338

Из классических соображений можно получить формулу

– формула Рэлея-Джинса. Из этой формулы следует

– «ультрафиолетовая катастрофа». Получается, что энергия излучения тела бесконечно велика, что противоречит закону сохранения энергии.

Ультрафиолетовая катастрофа была преодолена Планком, который при выводе формулы для спектральной излучательной способности воспользовался гипотезой о том, что энергия гармонического осциллятора может принимать только дискретный ряд значений: ħω, 2ħω, 3ħω и т. д., кратных кванту энер-

гии.

Формула Рэлея-Джинса – частный случай формулы Планка при малых часто-

339

Лекция 44

6.3.6. Оптическая пирометрия

Оптическая пирометрия – совокупность оптических методов измерения температур, основанных на законах теплового излучения. Приборы, которые при этом используются, называются пирометрами.

Энергетическая сила света – поток излучения тела в определённом направлении (под углом φ к нормали поверхности излучающего тела), приходящийся на единичный телесный угол:

Энергетическая яркость – энергетическая сила света, испускаемого с единичного участка поверхности тела в направлении нормали:

B dI . dS cosφ

Смысл обозначений dS, dΩ, φ показан на РИС. 44.1.

Спектральная плотность энергетической яркости – энергетическая яркость в единичном диапазоне частот (длин волн):

Радиационная температура Tр – температура чёрного тела, при которой его энергетическая яркость равна энергетической яркости исследуемого тела:

79 Следует отличать вводимые ниже характеристики от аналогичных фотометрических величин, которые вводятся для видимого излучения и привязаны к чувствительности глаза к оптическому излучению.