Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

B-физика

Файл:

Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

.pdf

Скачиваний:

146

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

13.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3931 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

300

Если операторы не коммутируют, т. е.


	A,B

, то величины a и b одновременно

не измеримы. (Для этих величин можно записать соотношение неопределённостей.)

ПРИМЕРЫ

1) Измеримы ли одновременно координата и соответствующая проекция импульса?

Найдём коммутатор операторов x

и p

; для простоты воздействуем этими опера-

торами на функцию Ψ:

	x
x	p ψ	x	i	ψ	i
x	p ψ	x	i	x	i
				x

ψx

;

x				i
p		xψ		i
x			x
xp	p x				ψ

x

xψ ψ

i	ψ i
xp p x
x	x

xψx

;

Координата и соответствующая проекция импульса одновременно не измеримы, что подтверждается соотношениями неопределённостей (37.4).

2) Измеримы ли одновременно py и x?

Действуем аналогично тому, как В ПРЕДЫДУЩЕМ ПРИМЕРЕ:

	x
y	p ψ
			x
		p

y		i		ψ

				x
yψ i y
		x			0
	p		, y

	i
	ψ	;
	x

ψx

;

Координата y и проекция импульса на ось x одновременно измеримы.

Дополнительное задание	Lx ,Ly 0
Доказать, что проекции момента импульса не коммутируют:	Lx ,Ly 0	, а также

что каждая из проекций момента импульса коммутирует с квадратом момента

2	0 .
импульса: Lx ,L

5.4.4. Квантование физических величин

Если физическая величина принимает дискретный ряд значений, т. е. собственные значения соответствующего оператора дискретны, то говорят, что данная величина квантуется.

ПРИМЕР

Квантование момента импульса

Уравнение для собственных значений оператора квадрата момента импульса

L2ψ L2ψ.

301

Решение этого уравнение трудное, поэтому приведём только результат ственные значения оператора квадрата момента импульса

L		l l 1
2	2		,
			,

l = 0, 1, 2, …

- соб-

(38.1)

Уравнение для собственных значений оператора проекции момента импульса

Lzψ

Это уравнение мы решим – найдём собственные значения и собственные функции. В сферических координатах оператор проекции момента импульса записывается как

Lz i		.
	φ

Уравнение для собственных функций и собственных значений

i	ψ	Lzψ .
	φ

Будем искать решение этого уравнения в форме

(38.2)

Подставим эту функцию в уравнение

i	αe	αφ
i	αe
Отсюда
	α		L
	α		z
			z
			i

ψ e			αφ	.

(38.2):
Lze		αφ	Lz

	iL		,	ψ
		z

i
	iL
	z
e	φ
e

α .

Функция ψ должна быть однозначной. Для этого необходимо

ψ φ 2π ψ φ

m – целое; Lz m

(38.3)

m = 0, ±1, ±2, … Так как проекция вектора не может быть больше его модуля,

2l l 1

m = 0, ±1, ±2, …, ±l.

5.4.5. Уравнение Шрёдингера

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики:

	2	ΔΨ UΨ i		Ψ
				Ψ	(38.4)
	2m			t	(38.4)
	2m			t
или

		HΨ i	Ψ
		HΨ i	t
			t

– временнόе уравнение Шрёдингера.

Уравнение Шрёдингера не выводится из других соотношений, оно постулируется.

302

Если силовое поле стационарно – U ≠ U(t), то решение уравнения Шрёдингера разделяется на два множителя:

Ψ x, y,z,t ψ x, y,z e	i	W	t
				,	(38.5)

где W – полная энергия частицы. Подставим (38.5) в уравнение Шрёдингера

(38.4):

2		i	W	t
	e	i		t
2m	e
2m

ψ U x, y,z ψe	i	W	t	i

Hψ Wψ

	iW	i	W	t
	iW	i		t	,
ψ	e				,

(38.6)

– уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (стационарное уравнение Шрёдингера).

Это уравнение мы будем чаще писать в другом виде:

ψ	2m	W
	2

U ψ 0

(38.7)

5.5. Некоторые квантовомеханические задачи

5.5.1. Свободная частица с энергией W

Рассмотрим одномерное движение. Лапласиан имеет вид

ция U = 0. Уравнение Шрёдингера:


2	ψ		2m
d	ψ		2m	Wψ 0 .
dx		2	2	Wψ 0 .
		2	2

Будем искать решение в виде ψ = Aeikx, где k – неизвестная ные волновой функции

dψ

ikx

ikAe

ikψ

Подставим эти производные в уравнение (38.8):

Wψ 0

;

2mW

;

d	2
			; силовая функ-
dx		2

(38.8)

константа. Производ-

ψ Ae	i	2mW	x

A – постоянная нормировки. Полная волновая функция

Ψ x,t Ae	i	Wt		x	.
			2mW

Действительная часть этой функции

Re Ψ x,t	Acos Wt		x
		2mW

– уравнение бегущей волны. Вероятность обнаружения частицы

303

Ψ	2	A

везде одинакова.

5.5.2. Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины

Потенциальная яма – область простран-			U
ства, в которой находится минимум по-			U
ства, в которой находится минимум по-
тенциальной энергии частицы. В данной
задаче	рассматривается	потенциальная
яма бесконечной глубины,		т. е. в области	I
длиной	l потенциальная	энергия мини-	UI → ∞
мальна (равна нулю), а во всём остальном
пространстве она стремится к бесконеч-
ности. График потенциальной энергии			0
приведён на РИС. 38.1.			0

В областях I и III, где потенциальная энергия бесконечно велика, вероятность обнаружения частицы должна быть равна нулю, т. е.

			ψ 0,
				I
				ψ		0.
				ψ		0.
				III
Уравнение Шрёдингера для области II
2	ψ			2m
d	ψ			2m			Wψ			0 .
		II					Wψ			0 .
		II
dx		2			2			II
dx
Введём обозначение
		k	2		2m			W	,
			2
							2
							2

тогда уравнение (38.9) примет вид

II	III
UII = 0	UIII → ∞

l x

Рис. 38.1

(38.9)

	2	ψ
	d	ψ
			II
	dx		2
	dx
Решение этого уравнения
ψ	x
II

k	ψ
2
	II
Acos kx

Постоянные A и φ найдём из свойств волновой функции. Волновая функция должна быть непрерывна во всём пространстве, в том числе на стенках ямы:

ψ		0 0,	Acosφ 0 φ π
	II					2
		l 0				2
ψ		l 0			φ 0
	II
			Acos kl
			k πn , n = 1, 2, …
				l
Поэтому
			ψII		πn
			ψII	Asin	l	x .
					l

Энергия частицы

sinkl 0;

304

	2	k	2
W		k
W	2m
	2m

π2n2 l2

2 2m

, n = 1, 2, …

Видно, что энергия частицы имеет дискретный ряд значений, т. е. квантуется.

Условие нормировки:

l		x
	ψ	x
	II
	2
0
Итак,

Графики функций (38.10) и

ψII

πn

sin

dx 1

dx A

sin

πn

(38.10)

ψII

sin

2 πn

(38.11)

x .

(38.11) для n = 1 и 2 представлены на РИС. 38.2А, Б. n = 1

n = 1

n = 2

0	l x
	n =2
	0	l	x
	а	б
	Рис. 38.2

Интервал энергий между соседними уровнями

	π	2	2	2		π	2	2	2n 1
W	π			2	n	π
W				n 1	n
					2
	2ml		2			2ml		2
	2ml					2ml

при достаточно больших n.

Энергетическая диаграмма частицы в бесконечной потенциальной яме изображена на РИС. 38.3.

π2 2

ml2 n

n = 2

n = 1

Рис. 38.3

305

Лекция 39

5.5.3. Потенциальный барьер. Туннельный эффект

Потенциальный барьер – область пространства, в которой находится максимум потенциальной энергии частицы. Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы, шириной l и высотой U0 (РИС. 39.1).

	U							U
	U0							U0
	U0							U0
	I	II	III					I	II
	UI = 0	UII = U0	UIII = 0					UI = 0	UII = U0

0		l	x				0			x
		Рис. 39.1							Рис. 39.2
Рассмотрим сначала бесконечный барьер (l → ∞), см. РИС. 39.2:
				U	I	0,
					I
						U	.
				U	II	U	.
					II	0

Пусть на него налетает (из области I) частица массы m с энергией W < U0. Запишем стационарное уравнение Шрёдингера в виде (38.7). (Задача одномерная, поэтому

d	2
			.)
dx		2

Область I

d2ψ	2m	Wψ 0.
I		Wψ 0.
dx2	2	I

Обозначим

k2 2m2 W .

Область II

d2ψII 2m W U0 ψII 0 .

dx2 2

Обозначим

α2 2m2 U0 W .

Получим систему дифференциальных уравнений

ψ k2ψ 0,
	I	I
ψ α2ψ 0.
	II	II

Ищем решение каждого из этих уравнений в общем виде ψ = eλx. Тогда ψˊ = λeλx,

ψˊˊ = λ2eλx;

λ x

2 λ x

λ e

k e

λ x

λ e

α e

λ ik,

α;

ψ A eikx B e ikx

(39.1)

ψ A eαx B e αx .

Здесь i – мнимая единица, A1, B1, A2, B2 – постоянные.

306

Коэффициент A1 характеризует набегающую волну (налетающую частицу), B1 – отражённую волну (отлетающую от барьера частицу), A2 и B2 характеризуют вероятность нахождения частицы внутри барьера. Так как эта вероятность не может расти при погружении вглубь барьера, A2 = 0.

Найдём коэффициенты A2 и B1. Условие непрерывности волновой функции на границе барьера:

ψI 0 ψII 0 A1 B1 B2 .

(39.2)

Условие непрерывности производных волновой функции:

ψ 0 ψ 0

I II

ikA1 ikB1

αB2

(39.3)

Из (39.2) и (39.3) получим

B	2ik	A .	(39.4)
	ik α
2		1

Вероятность нахождения частицы в точке с координатой x = 0 определяется вы-

ражением	ψI 0	2	2	.Вероятность (плотность вероятности) нахождения частицы
			~ A1

внутри барьера на расстоянии x от его границы

ψ	x	2	B	e	αx
		2


II			2

	~e
2		2αx
		2αx

Теперь «обрежем» барьер на ширине x = l. Прозрачность (коэффициент прозрачности) барьера – вероятность прохождения барьера частицей:

Подставим сюда функции (39.1). С учётом (39.4) получим

2αl

2ik

2αl

ik α

4W 1. Тогда D ≈ e–2αl,

В большинстве реальных задач

e	2αl

D e	2	2m U	W l

		0

Мы доказали, что даже имея энергию, меньшую, чем высота потенциального барьера, частица может преодолеть этот барьер. В этот состоит туннельный эф-

фект.

Численная оценка

Если U0 – W = 5 эВ, то при l = 1	Å	D = 1∙10–1;
l = 2	Å	D = 8∙10–5;
l = 5	Å	D = 5∙10–7.

Туннельный эффект широко применяется в технике. Большой ток при холодной эмиссии электронов объясняется в т. ч. туннельным эффектом.

307

5.5.4. Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор – частица, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы Fx = –kx. При этом потенциальная энергия силового поля

U	kx	2
		.
	2

График U(x) представлен на РИС. 39.3. Собственная частота осциллятора

	2	2
U	mω x	.
U	2	.
	2

Стационарное уравнение Шрёдингера:

	ω	k
	ω	m
		m

;


2	ψ		2m
d	ψ		2m
dx		2	2	W
dx

	2	2
	mω x
	2
	2

	ψ
	ψ

здесь W – полная энергия осциллятора. Это уравнение имеет точное аналитическое решение. Собственные функции слишком сложны, чтобы их здесь приводить.

Собственные значения энергии гармонического осциллятора

	1	ω , n 0,1,2,
Wn n	2

Энергия гармонического осциллятора квантуется, Уровни энергии эквидистантны, т. е. отстоят друг от друга на одинаковую величину

W ω hν .

Минимально возможная энергия гармонического ос-

циллятора – нулевая энергия

W	ω	.

0	2

Таким образом, доказана гипотеза Планка о том, что осциллятор излучает порциями – квантами.

5.6. Атом водорода

5.6.1. Модель атома Резерфорда-Бора

0 x

Рис. 39.3

Атом состоит из положительно заряженного ядра, окружённого облаком электронов74. (С классической точки зрения это невозможно – электрон упал бы на ядро!)

Для атома водорода (РИС. 39.4) масса протона mp намного больше массы электрона me:

1836me

поэтому ядро можно считать неподвижным.

74 По полуклассической теории Бора электроны вращаются вокруг ядра по орбитам. По квантовомеханическим представлениям же об орбитах говорить бессмысленно.

308

U
0	r

mp	r
W0	r
p		me

Рис. 39.4

Рис. 39.5

Потенциал электростатического поля ядра

	φ	Ze
	φ	4πε r
		4πε r
		0

где Z – заряд ядра (число протонов в ядре), r – расстояние от ядра до электрона. Потенциальная энергия электрона в этом поле

	Ze	2
U	Ze
U	4πε r
	4πε r
		0

График зависимости U (r) представлен на РИС. 39.5.

Для атома водорода Z = 1. При Z ≠ 1 система, состоящая из ядра и одного электро-

на, – водородоподобный ион.

5.6.2. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний и его решение

Стационарное уравнение Шрёдингера

ψ	2m
ψ	2	W

		Ze	2
		Ze
		4πε r
		4πε r
			0

	ψ
	ψ

где m – масса электрона (данное обозначение используется в этом и следующем разделах).

Так как поле – центральное, перейдём к сферической системе координат. Стационарное уравнение Шрёдингера запишется в виде

1 2ψ

Ze2

sinθ

ψ 0 . (39.5)

sinθ θ

sinθ φ

4πε0r

Предположим, что существует такое симметричное состояние, в котором ψ = ψ1(r), с энергией W1. Тогда

2	ψ
d	ψ
		1
dr		2
dr

2 dψ1 r dr

2m		Ze	2
	W			ψ
2
	1	4πε r		1

			0

(39.6)

Будем искать решение этого уравнения в виде ψ1 Ce r0 . Производные этой функции

309

dψ

Подставим эти выражения в уравнение (39.6):

ψ1

r02

		ψ			2 ψ				2m				W			Ze	2			0
		ψ			2 ψ				2m							Ze			ψ
			1			1					2								ψ
			1			1
		r	2		r	r							1		4πε r				1
		r			r	r									4πε r
		0				0											0
											2
(ψ1 ≠ 0). Домножив это уравнение на										2m			, получим
										2m
2		W						2	2				Ze	2		1			2		Ze	2
								2					Ze								Ze		.
	2mr02						2mr0r					4πε0r											.
	2mr02			1			2mr0r					4πε0r				r		mr0			4πε0

Это равенство должно выполняться при любых r, в правая часть этого равенства стремится к нулю, а, должна быть также равна нулю:

т. ч. при r → ∞. В таком случае следовательно, и левая часть

	2	W 0
	2	W 0
	2	1
	2mr
	0

	W	2
	W	2
	1	2
		2mr
		0

При r ≠ 0 должны выполняться равенства

	2			W 0,
	2
			2
	2mr		2		1
	2mr
		0
	2			Ze	2
	2				2	0.

mr				4πε
mr				4πε
	0				0

Из этой системы уравнений получим

	2		m	Ze	2	2
r	4πε0	, W	m	Ze			.
r		, W					.
0	Ze2m	1	2 2	4πε0

Численное значение

При Z = 1 W1 = 13,6 эВ; r0 = 0,529 Å – 1-ый боровский радиус.

Вероятность обнаружения электрона в тонком сферическом слое радиуса r и толщиной dr

dP ψ1

4πr dr C e

4πr dr ;

C2 4πr2e r0 .

График

этой

функции

изображён на

РИС. 39.6. Максимум плотности вероятности

обнаружения электрона имеет место при

r = r0 (доказать самостоятельно).

Общее

решение уравнения

Шрёдингера

Рис..39..76

(39.5) можно представить в виде

ψ r,θ,φ R r Θ θ Φ φ .

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3931 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете B-физика

#
31.03.20151.51 Mб208АВТИ Механика (экзамен) .doc
#
31.03.20152.35 Mб78Билеты ответы на экзамен общей физики (Механика).docx
#
31.03.2015714.18 Кб2086Задачник по физике.pdf
#
31.03.2015130.56 Кб103Защита по механике (№1).doc
#
31.03.201552.74 Кб82Защита по электростатике.doc
#
31.03.201513.27 Mб146Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf
#
31.03.201544.45 Кб39Механика (билеты) (неполные).docx
#
31.03.2015585.78 Кб150Общая физика (оптика).docx
#
31.03.2015649.73 Кб170Физика (шпаргалка) (механика-термодинамика).doc
#
31.03.2015400.38 Кб44Физика (элетростатика) определение.doc
#
31.03.2015686.28 Кб103Шпора Физика (Оптика).pdf