Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

321

6. Квантовая статистика. Физика твёрдого тела

6.1. Макросистемы и способы их описания. Фазовое пространство76

6.1.1. Макросистемы и способы их описания

Макросистема – система, состоящая из огромного числа частиц. Закрытая система – макросистема с постоянным числом N частиц. Открытая система – макросистема с переменным числом частиц.

Способы описания состояния макросистем

6.1.2. Термодинамическое описание состояния макросистемы

Термодинамическое описание – это описание состояния системы в целом.

Будем рассматривать равновесное состояние системы. Равновесное состояние

(состояние термодинамического равновесия) – состояние макросистемы, в

котором она может находиться сколь угодно долго в отсутствие внешнего воздействия.

Термодинамические параметры (макропараметры) – параметры,

описывающие макросистему в целом: давление p, объём V, температура T, внутренняя энергия U, энтропия S и т. п. Термодинамические параметры можно определить для системы в целом только в её равновесном состоянии.

Q – количество теплоты, переданное системе, A – работа, совершённая системой.

Для открытой системы внутренняя энергия может изменяться и за счёт изменения числа частиц:

dU TdS pdV μdN ,

где μ – химический потенциал – термодинамический параметр системы. Его смысл прост. Для теплоизолированной (dS = 0) системы при V = const

76 Материал этого параграфа во многом повторяет содержание разделов 2.1.2, 2.1.3 и 2.6.2. Но так как впервые рассматриваемые темы изучались в I семестре, нужно повторить определение термодинамической системы и т. д.

322

Химический потенциал равен изменению внутренней энергии теплоизолированной системы постоянного объёма при изменении числа её частиц на единицу.

Возможно μ 0. Для идеального газа μ < 0; для фотонного газа μ = 0.

Контакт двух теплоизолированных систем

Рис. 41.5

При контакте двух теплоизолированных систем с химическими потенциалами μ1 и μ2 (РИС. 41.5) поток энергии (энергия, переносимая сквозь границу между системами за какой-либо промежуток времени) слева направо на рисунке будет равен потоку энергии справа налево:

dN12, dN21 – число частиц, переходящих из системы 1 в систему 2 и наоборот за один и тот же малый промежуток времени. Так как dN12 = dN21,

– в состоянии равновесия химические потенциалы систем равны.

6.1.3. Статистическое описание состояния макросистемы

Микропараметры – параметры, характеризующие состояние каждой частицы: масса, импульс, координата, энергия и т. п.

Задача статистической физики – установление связи между микро- и макропараметрами.

Пусть имеется система из N тождественных, слабо взаимодействующих частиц (газ). Благодаря взаимодействию между частицами система может прийти в равновесное состояние.

Частицы, составляющие макросистемы

6.1.4. Фазовое пространство в классической физике

Фазовое пространство – 6-мерное пространство координат и проекций импульса: x, y, z, px, py, pz.

323

Каждой частице сопоставляется изобразительная точка, координаты которой в фазовом пространстве полностью характеризуют состояние частицы. Изобразительная точка движется по фазовой траектории.

ПРИМЕР

Для макросистемы из N частиц имеем шестимерное облако из N изобразительных точек. Таким образом полностью задаётся микросостояние системы. Нас интересует форма этого облака и распределение изобразительных точек в нём.

Разобьём фазовое пространство на ячейки объёма dγ = dxdydzdpxdpydpz (микросостояние частицы задаётся с соответствующей точностью). Микросостояние системы определяется плотностью заполнения ячеек с учётом индивидуальных номеров частиц.

Число микросостояний, с помощью которых реализуется данное макросостояние,

– статистический вес Ω системы.

Равновесному состоянию соответствует макросостояние с максимальным статистическим весом, т. е. то, которое реализуется наибольшим числом микросостояний.

Пронумеруем частицы и ячейки. Таким образом, состояние определённой частицы будет задаваться номером ячейки, в которой частица находится. Будем обозначать энергию частицы в i-ой ячейке εi. Микросостояние системы будет определяться числом частиц в каждой ячейке без учёта индивидуальных номеров частиц.

ПРИМЕР

Распределение двух частиц по двум фазовым ячейкам

Это 1 макросостояние и 2 микросостояния, Ω = 2.

325

Лекция 42

6.1.5. Фазовое пространство в квантовой физике

В квантовой механике координата и соответствующая проекция импульса одновременно не измеримы. Соотношения неопределённостей Гейзенберга:

В результате этого на объём фазовой ячейки накладывается ограничение

3

γ x y z px py pz 8 .

Различным фазовым ячейкам будут соответствовать различные квантовые состояния, если γ ~ ħ3. В качестве фазовой ячейки возьмём ячейку объёмом γ = ħ3. Одна ячейка – одно квантовое состояние.

Примеры заполнения фазовых ячеек в различных квантовых термодинамических системах приведены на РИС. 42.1.

Лучше взять ячейку объёмом

γ h3 .

2

326

Найдём плотность заполнения фазовых ячеек, которая бы соответствовала равновесному состоянию системы. Будем исходить из условий, приведённых в ТАБЛИ-

ЦЕ 42.1.

Таблица 42.1

Все частицы одинаковы, но различиЧастицы одинаковы и неразличимы.

2.мы. Перестановка частиц изменяет Перестановка частиц не изменяет

4.Все допустимые микросостояния замкнутой системы равновероятны.

В замкнутой системе внутренняя энергия U = const и число частиц N = const

5.(для бозонов – не обязательно).

6.Равновесное состояние реализуется наибольшим числом микросостояний.

ПРИМЕР

Распределение двух изобразительных точек по двум фазовым ячейкам

В ТАБЛ. 42.2 показаны все возможные микросостояния такой макросистемы в случае, если она состоит из классических частиц, фермионов и бозонов. Статистический вес системы Ω0 –– общее число микросостояний, в которых может находиться данная макросистема.

6.1.6. Функция распределения

Функция распределения (см. 2.7.1) f(εi) определяется средней заполняемостью фазовых ячеек изобразительными точками (числом точек в одной ячейке) в малой области фазового пространства:

327

Проведя термодинамический расчёт, можно получить функции распределения, которые приведены в ТАБЛ. 42.3 (k – постоянная Больцмана). Это распределение частиц по ячейкам εi, а не по энергиям ε!

Индивидуальные свойства частиц влияют на поведение макросистемы только

стиц не важны и работают законы классической физики. Такой газ называется

невырожденным.

Параметром, который разграничивает вырожденный и невырожденный газ, является температура. Если T > Tкр, где T – критическая температура, то газ не вырожден. Если T < Tкр, то газ вырожден.

Можно показать, что

где n – концентрация газа, m0 – масса частицы.

Численная оценка

Для идеального газа, состоящего из молекул, Tкр ~ 5 К, т. е. этот газ не вырожден. Для электронного газа в металле Tкр ~ 5∙104 К, т. е. этот газ вырожден.

328

6.2. Распределение молекул идеального газа по энергиям. Химический потенциал идеального газа

где dΓ – объём области фазового пространства, соответствующей энергиям частиц

Пусть энергия молекулы не зависит от её координаты. Тогда

Введём функцию распределения частиц по энергиям как плотность вероятности попадания частицы в данный интервал энергий:

Графики этой функции при разных температурах газа представлены на РИС. 42.4.