Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

291

Лекция 37

5. Квантовая физика

5.1. Квантовые свойства электромагнитного излучения

Ряд оптических явлений не объясним с точки зрения волновой теории:

1.Тепловое излучение

2.Эффект Комптона

3.Фотоэффект

4.Спектры атомов

Для объяснения этих явлений необходимо рассматривать электромагнитное излучение как поток частиц – фотонов.

h = 6,63∙10–34 Дж∙с; 2hπ 1,05 10 34 Дж с – постоянная Планка; здесь ν - ча-

стота, ω – циклическая частота, λ – длина волны.

3. Масса

– масса покоя фотона равна нулю; фотон называют безмассовой частицей.

4.Импульс

k – волновой вектор.

292

Фотон – переносчик электромагнитного взаимодействия, истинно нейтральная частица (электрический заряд q = 0). Фотон – истинно элементарная частица, т. е. не имеет структуры.

5.1.2. Внешний фотоэффект

Внешний фотоэффект – явление приобретения электрического заряда телом при освещении его поверхности. Причина внешнего фотоэффекта – испускание электронов веществом под действием света.

Внешний эффект наблюдается у металлов. Вылетающие электроны – фотоэлектроны – это свободные электроны, находящиеся внутри металла в потенциальной яме (см. РАЗДЕЛ 6.4.1).

Можно приложить к трубке напряжение обратной полярности. Тогда электрическое поле внутри трубки будет задерживать электроны. При напряжении, большем некоторого значения Uз, электроны не достигают катода и фототок не идёт. Из закона сохранения энергии следует, что

где vmax – максимальная скорость фотоэлектронов при вылете с катода, me – масса электрона.

Опытные законы фотоэффекта

1.Фототок пропорционален интенсивности падающего света: i ~ I.

2.Фототок достигает насыщения

3.Существует красная граница фотоэффекта – частота ν0 (длина волны λ0) падающего излучения, при частотах ниже (длинах волн выше) которой фото-

эффект не наблюдается. Значение ν0 зависит от материала катода и состояния его поверхности.

4.Максимальная скорость фотоэлектронов зависит от частоты падающего света и не зависит от его интенсивности.

5.Фотоэффект практически безынерционен.

293

Демонстрация: Внешний фотоэффект на цинке Зависимость фототока от напряжения показана на РИС. 37.2.

Вольт-амперная характеристика вакуумного фотоэлемента

i

iнас

Рис. 37.2

Квантовая теория внешнего фотоэффекта

Из закона сохранения энергии следует, что энергия фотона расходуется на кинетическую энергию вылетающего электрона (её максимальное значение

– уравнение Эйнштейна.

Работа выхода электрона из металла составляет единицы электрон-вольт.

1 электрон-вольт (эВ) равен энергии, которую приобретает электрон, пройдя ускоряющее электрическое поле с разностью потенциалов 1 В:

1 эВ = 1,60∙10–19 Дж.

Объяснение свойств внешнего фотоэффекта

1.Число фотоэлектронов пропорционально интенсивности падающего света.

2.Число фотоэлектронов ограничено.

3.Фотоэффект прекращается, когда максимальная скорость фотоэлектронов равна нулю:

4.Из уравнения Эйнштейна (37.1) следует, что vmax = vmax(ν).

5.Соударение фотона и электрона настолько сильное, что электрон вылетает практически мгновенно.

5.1.3. Эффект Комптона

Эффект Комптона – изменение длины волны рентгеновского излучения при его рассеянии электронами вещества. Этот эффект наблюдается в результате столкновения фотона со свободным или почти свободным электроном (РИС. 37.3).

294

импульс фотона после соударения, pe – импульс электрона после соударения. Закон сохранения механической энергии:

где ν – частота налетающего фотона, νˊ - частота рассеянного фотона, v – скорость электрона после соударения. Здесь мы полагаем v << c и описываем движение электрона нерелятивистскими формулами.

Считая угол рассеяния θ фотона (РИС. 37.3) известным, спроецируем уравнение (37.2) на координатные оси, выразив импульс и частоту фотона через длину волны. Из системы уравнений (37.2) и (37.3) получим выражение для длины волны рассеянного фотона

– комптоновская длина волны электрона.

5.1.4. Корпускулярно-волновая двойственность свойств света

Каждой группе фотонов в классическом описании ставится в соответствие цуг

Энергия электромагнитного поля в малом объёме dV dW wdV ,

но, с другой стороны,

dW NhνdP ,

где dP – вероятность попадания фотона в объём dV, N – общее число фотонов. Отсюда

w ~ dVdP

– классическая плотность энергии электромагнитного излучения определяет плотность вероятности попадания фотонов в данную область пространства.

295

Данная картина реализуется в виде изменяющегося в пространстве распределения интенсивности света (при большом числе фотонов).

Так как w ~ E2,

– квадрат модуля напряжённости электрического поля определяет плотность вероятности попадания фотона в данную область пространства.

5.2. Гипотеза де Бройля

Гипотеза де Бройля: корпускулярно-волновая двойственность присуща не только свету, но и всей материи, т. е. все частицы обладают не только корпускулярными, но и волновыми свойствами.

Каждой движущейся частице можно поставить в соответствие волновой процесс

(волну де Бройля), который характеризуется длиной волны

здесь p – модуль импульса, W – энергия частицы.

Квадрат модуля амплитуды волны де Бройля определяет плотность вероятности обнаружения частицы в данной области пространства. Корпускулярные свойства частицы обусловлены тем, что её масса, импульс и энергия локализованы в малом объёме.

ПРИМЕРЫ

1) Пуля массой m = 10 г летит со скоростью v = 600 м/с. Её длина волны де Бройля

Волновые свойства частицы можно обнаружить благодаря явлению дифракции. Препятствия, на котором можно было бы обнаружить волновые свойства пули, не существует.

2) Электрон прошёл ускоряющее электрическое поле с разностью потенциалов

U = 150 В.

здесь v – конечная скорость электрона. Импульс электрона

296

Период кристаллической решётки твёрдого тела – порядка 1 Å. Можно наблюдать дифракционную картину при рассеянии электронов на кристаллической решётке. Условие дифракционных максимумов

Если пускать электроны по одному, то распределение точек на детекторе (фотопластинке) будет случайным.

5.3. Соотношение неопределённостей Гейзенберга

В квантовой физике теряет смысл понятие траектории, координаты, скорости, ускорения частицы. Приходится говорить о плотности вероятности нахождения частицы в данной области пространства. Корректность использования классических физических величины определяется соотношениями неопределённостей Гейзенберга.

Нельзя одновременно с произвольной точность определить координату и соответствующую ей проекцию импульса частицы. Между неопределённостями этих величин должны выполнятся соотношения

(здесь x – неопределённость координаты x и т. п.)

Величины, которые связаны между собой подобными соотношениями, называются канонически сопряжёнными; например, энергия W и время t:

Соотношения неопределённостей являются оценочными.

ПРИМЕР

Пролёт микрочастицы через щель (дифракция электрона на щели)

Попытаемся определить координату свободно летящей микрочастицы. Для этого поставим на её пути ширму с щелью шириной x (РИС. 37.4). До прохождения частицы через щель px = 0, px = 0, зато координата x совершенно не определена. В момент прохождения частицы через щель ситуация изменяется:

– условие первого минимума при дифракции на щели (см. 4.2.2), поэтому

298

Лекция 38

5.4. Квантовомеханическое описание движения частицы

жет быть как действительной, так и комплексной. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции:

Ψ2 dVdP

– квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности обнаружения частицы в данной области пространства.

Свойства волновой функции

1.Однозначность и непрерывность при любых x, y, z, t

(обнаружение частицы во всём пространстве – достоверное событие, его вероятность равна единице.)

5.4.2. Изображение физических величин операторами

В квантовой механике каждой физической величине сопоставляется оператор – правило, посредством которого одна функция сопоставляется другой:

Множеству собственных значений (q1, q2, …, qn) соответствует множество собственных функций (φ1, φ2, …, φn).

получаться только результаты, совпадающие с собственными значениями этого оператора.

Среднее значение q:

q Ψ*QΨdV ,

здесь Ψ* – комплексно сопряжённая функция к функции Ψ; dV = dxdydz, интегрирование ведётся по объёму.

299

Важнейшие операторы физических величин

1.Оператор координаты

H T U x, y,z,t ,

U x, y,z,t – силовая функция – описывает действие других объектов на частицу.

5.4.3. Возможность одновременного измерения двух величин

Пусть имеются два оператора A и B . Коммутатор операторов A и B

A,B AB BA.

Операторы A и B коммутируют, если

A,B 0 ,

т. е. AB BA.

73 Волновую функцию, зависящую от времени, мы обозначаем Ψ, а её стационарную часть (см. 5.4.5), не зависящую явно от времени, – ψ = ψ(x, y, z).