8.2. Канонические уравнения метода сил
Дополнительные уравнения перемещений по направлениям лишних неизвестных можно записать по определенной закономерности – так называемой канонической форме.
Условие равенства нулю перемещения по направлению любой из отброшенных связей на основании принципа независимости действия сил можно выразить следующим образом:
i = i1 + i2 + ... + i,n – 1 + in + iF = 0. (8.1)
Слагаемые in и iF представляют собой перемещения по направлению реакции связи i, вызванные соответственно реакцией связи n и заданной нагрузкой.
Обозначив через хn величину реакции связи n и выразив перемещения in через единичные перемещения in с помощью равенства in = хnin, вышерассмотренное уравнение можно записать так:
i = i1х1 + i2х2 + ... + i,n – 1 хn – 1 + inхn + iF = 0. (8.2)
Условие эквивалентности основной и заданной систем математически сводится к следующей системе n линейных уравнений:
11х1 + 12х2 + ... + 1nхn + 1F = 0
21х1 + 22х2 + ... + 2nхn + 2F = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n1х1 + n2х2 + ... + nnхn + nF = 0. (8.3)
Эти уравнения перемещений являются дополнительными уравнениями, которые позволяют раскрыть статическую неопределимость заданной системы.
Полученные уравнения называются каноническими уравнениями метода сил. Число уравнений равно числу отброшенных связей, т.е. степени статической неопределимости заданной системы.
Коэффициент in системы канонических уравнений представляет перемещение по направлению i, вызванной силой, равной единице, действующей по направлению n. Единичные перемещения ii, имеющие два одинаковых индекса, называются главными, в отличие от побочных перемещений in, имеющих разные индексы. В соответствии с теоремой о взаимности перемещений in = ni.
Коэффициенты канонических уравнений могут быть определены методом Мора или способом Верещагина. Главные перемещения всегда больше нуля, побочные перемещения могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.
Решая систему канонических уравнений, определяют неизвестные усилия, затем строят эпюры изгибающих моментов для основной системы от каждого из найденных усилий: х1, х2, ... хi, … ... хn. На этом этапе решения можно использовать построенные ранее единичные эпюры, ординаты которых необходимо умножить на найденные значения соответствующих неизвестных, т.е.
,
(8.4)
где
и
–
эпюры изгибающих моментов от единичных
сил
...
.
На основании принципа независимости действия сил строится суммарная окончательная эпюра изгибающего момента:
Мi = М1i + M2i + ... + Мni + МFi, (8.5)
где Мi – изгибающий момент в i-м сечении рассматриваемой конструкции.
Окончательную эпюру изгибающих моментов можно построить и традиционным путем, прикладывая найденные неизвестные усилия и заданную нагрузку к системе и записывая аналитически выражения моментов.
Для проверки правильности решения используется деформационная проверка. В этом случае по методу Мора или способу Верещагина умножается суммарная эпюра изгибающего момента на эпюру изгибающего момента от единичного усилия во вновь выбранной основной системе:
.
(8.6)
Если условия перемещений в направлении отброшенных связей выполняются, то, следовательно, неизвестные усилия определены верно.
После прикладывания найденных усилий к заданной системе проводится анализ по участкам других, свойственных для данной системы внутренних силовых факторов, и строятся их эпюры.
Для определения
углового или линейного перемещения
в
статически неопределимых системах
необходимо приложить единичную силу
(для линейного) или
(для углового) к основной системе в
сечении, где необходимо найти эти
соответствующие параметры и, используя
метод Мора или способ Верещагина,
определить их.
Таким образом, порядок раскрытия статической неопределимости систем может быть сведен к следующим пунктам:
1. Определяют степень статической неопределимости.
2. Выбирают основную систему с позиции наиболее рационального решения.
3. Основную систему превращают в эквивалентную систему.
4. Записывают канонические уравнения метода сил.
5. Строят эпюры от заданных сил и от единичных сил в выбранной основной системе.
6. Определяют методом Мора или способом Верещагина коэффициенты и свободные члены, входящие в канонические уравнения.
7. Решают систему канонических уравнений с целью определения неизвестных усилий х1, х2, ..., хn по направлению соответствующих лишних связей.
8. Прикладывая найденные усилия к эквивалентной системе, строят эпюры внутренних силовых факторов.
9. Проводят деформационную проверку с целью проверки правильности найденных неизвестных значений х1, х2, ..., хn.
10. Осуществляют расчеты прочностного и деформационного характера, если это необходимо.