Содержание и порядок выполнения работы

1. Вычертить схему рамы, указать численные значения заданных величин.

2. Построить эпюры продольных и поперечных сил, изгибающих моментов.

3. Подобрать двутавр из условия прочности по нормальным напряжениям (учитывая только изгиб).

4. Способом Верещагина определить горизонтальное перемещение сечения А, угол поворота сечения В, взаимное горизонтальное перемещение сечений С и D (учитывая только изгиб).

Глава VIII. Расчет статически неопределимых плоских систем

8.1. Понятие о статически неопределимых системах, степени статической неопределимости, основной и эквивалентной системах, методе сил

Статически неопределимыми системами называются такие, силовые факторы в элементах которых только из уравнений равновесия твердого тела определить нельзя. По числу лишних связей или неизвестных усилий устанавливают степень статической неопределимости системы. Балка, изображенная на рис. 8.1 – дважды статически неопределимая система, так как уравнений статики можно записать 3, а внешних связей – 5.

Систему, состоящую из ряда элементов (прямых или криволинейных), связанных между собой и образующих замкнутую цепь, называют замкнутым контуром. На рис. 8.2 изображена рама с замкнутым контуром АВСD. В данном случае обычно принято выражение статической неопределимости внешним (за счет реакций на опорах) и внутренним образом (за счет усилий, возникающих в элементах контура). Любой жесткий замкнутый контур всегда трижды статически неопределим. Рассматриваемая рама шесть раз статически неопределима (3 раза внешним образом и 3 раза – внутренним).

Установка в балке или раме шарнира, в котором сходятсяn стержней, снижает степень статической неопределимости на n  1. Так, балка, изображенная на рис. 8.3, при установке врезного шарнира на опоре В становится один раз статически неопределимой, т.к. число стержней, сходящихся в шарнире, n = 2. Рама, изображенная на рис. 8.4, при установке врезных шарниров в сечениях А и С имеет статическую неопределимость, равную трем.

Степень статической неопределимости S может быть определена с помощью следующего выражения для плоских балок и рам:

,

где n – количество опор типа защемления; m – количество опор, шарнирно неподвижных; p – количество опор, шарнирно подвижных; k – количество замкнутых жестких контуров; ш – количество шарниров в пересчете на одиночные.

Для балки (см. рис. 8.3)

S = 2 + 3 – 1 – 3 = 1,

для рамы (см. рис. 8.4)

S = 3  2 + 3  1 – 3 – 3 = 3.

Степень статической неопределимости может быть определена и по формуле

S=3k–ш,

где k – число замкнутых контуров при условии полного отсутствия шарниров; ш – число шарниров в пересчете на одиночные.

При применении этой формулы шарнирно-неподвижную опору удобнее представить в виде.

Для балки (см. рис. 8.1) S = 3·3  7 = 2.

Для рам (см. рис. 8.2, 8.4) S = 2·3  0 = 6, S = 2·3  3 = 3 соответственно.

Удаляя лишние связи, заменяем исходную систему статически определимой, которая называется основной. При выборе основных систем необходимо следить за тем, чтобы они были геометрически неизменяемыми. Для дальнейшего решения выбирается одна из основных систем, которая дает наиболее рациональное решение.

Для балки (см. рис. 8.1) основные системы, получаемые путем отбрасывания лишних связей, препятствующих линейным перемещениям, изображены на рис. 8.5, а, б, в. Наиболее рациональное решение для статически неопределимой балки дает основная система, получаемая путем врезания шарниров на промежуточных опорах (рис. 8.5, г).

Загружая основную систему заданной нагрузкой и прикладывая лишние неизвестные усилия в направлении отброшенных связей, получаем систему, называемую эквивалентной (рис. 8.6). В качестве неизвестных для основных систем, показанных на рис. 8.5,а, б, в, выбраны усилия х₁ и х₂, связанные с вертикальными перемещениями в соответствующих сечениях, а для варианта г – усилия х₁ и х₂ (моменты), связанные со взаимными угловыми перемещениями на соответствующих опорах.

Для эквивалентности основной системы исходной неизвестные усилия должны быть подобраны такими, чтобы перемещения основной системы в местах отброшенных связей не отличалась от перемещений исходной – статически неопределимой.

Используя принцип независимости действия сил, записываются уравнения перемещений в направлении неизвестных усилий. Из полученных уравнений определяют значения неизвестных сил.

Рассматриваемая схема расчета носит название метода сил, т.к. в качестве неизвестных здесь выбирают силы в направлении отброшенных связей.