- •7.2. Примеры расчета перемещений в балках методом начальных параметров Пример
- •Решение
- •7.3. Определение перемещений методом Мора
- •7.4. Определение перемещений способом Верещагина
- •7.5. Примеры определения перемещений методом Мора и способом Верещагина Пример
- •Решение
- •4. Определить прогиб сечения с способом Верещагина.
- •Решение
- •Вопросы для самопроверки
- •Содержание и порядок выполнения работы
- •Содержание и порядок выполнения работы
- •Глава VIII. Расчет статически неопределимых плоских систем
- •8.1. Понятие о статически неопределимых системах, степени статической неопределимости, основной и эквивалентной системах, методе сил
- •8.2. Канонические уравнения метода сил
- •8.3. Примеры раскрытия статической неопределимости
- •8.3.1. Расчет многопролетной балки Пример
- •Решение
- •8.3.2. Расчет статически неопределимой рамы Пример
- •8.3.3 Использование свойств симметрии в статически неопределимых рамах Пример
- •Решение
- •8.3.4. Расчет статически неопределимого вала Пример
- •8.3.5. Расчет статически неопределимых систем при растяжении-сжатии Пример
- •Вопросы для самопроверки
- •Контрольная работа № 9.
- •Содержание и порядок выполнения работы
- •Содержание и порядок выполнения работы
- •Содержание и порядок выполнения работы
- •Содержание и порядок выполнения работы
- •Глава IX. Косой изгиб
- •9.1. Понятие косого изгиба
ных долей единицы, следовательно, формулу можно переписать в более простом виде:
. (7.4)
Приравнивая выражения (7.2) и (7.4), получим дифференциальное уравнение упругой балки (7.5):
. (7.5)
При направлении оси y вверх уравнение (7.5) приобретает вид
. ( 7.6)
Систематизируя рассмотренное выше выражение (7.6), можно записать дифференциальные зависимости:
, ,. (7.7)
Применяя аппарат определенного интегрирования, можно получить универсальные уравнения (7.8), (7.9) позволяющие найти параметры изогнутой оси балки при любых условиях закрепления ее концов, не прибегая к интегрированию дифференциального уравнения:
, (7.8)
. (7.9)
Здесьai, bi, c, d – абcциссы точек приложения сосредоточенных моментов M, сил F и начало равномерно распределенной нагрузки q постоянной интенсивности. В случае действия распределенной нагрузки, выраженной по другому закону, необходимо ввести коррек-тивы в уравнения (7.8), (7.9). M, F, q – внешние силы и моменты (включая опорные реакции), расположенные между данными сечением и началом координат, ,– прогиб и угол поворота в начале координат, называемые начальными параметрами, а сам метод определения перемещений с помощью выражений (7.8), (7.9) называют методом начальных параметров. Начальные параметры определяют из условий закрепления балки. Так, для двухопорной балки (рис. 7.2) а)= 0 приz = 0 и = 0 приz = l; б) = 0 приz = a, = 0 приz = a + l; в) = 0 приz = 0, = 0 приz = 0.
Для определения перемещений в ступенчатой балке можно использовать общие методы, изложенные в § 7.4, 7.5, или применить видоизмененный метод начальных параметров, что вносит некоторые сложности.
Определение перемещений с помощью универсального уравнения должно включать следующие операции:
Определение реакций на опорах, анализ поперечных сил и изгибающих моментов, подбор сечения балки.
Выбор начала координат, которое принято брать в левой крайней точке рассматриваемой балки.
Проведение произвольного сечения на последнем участке, считая от начала координат, расстояние до которого z. Если распределенная нагрузка обрывается на каком-либо участке (рис. 7.3, а), то ее продлевают до конца балки, а для восстановления действительных грузовых условий на продолжаемой длине прикладывают распределенную нагрузку обратного знака (рис. 7.3, б). Дополнительную и компенсирующую нагрузки принято показывать штриховыми линиями.
Запись уравнений для линейных (v) и угловых (θ) перемещений применительно к крайнему правому участку балки. Сосредоточенная сила и сосредоточенный момент, приложенные в крайнем сечении справа, в уравнения не входят.
Определение из условий закрепления начальных параметров и. Для того чтобы вычислить перемещения какого-либо сечения, необходимо в соответствующие уравнения подставить координату z (только в те составляющие уравнений (7.8), (7.9), которые входят в промежуток между началом координат и рассматриваемым сечением).
7.2. Примеры расчета перемещений в балках методом начальных параметров Пример
Для заданной балки (рис. 7.4, а) подобрать стандартный двутавр из условия прочности. Определить углы поворота и прогибы в различных сечениях, построить эпюры θ и v; = 160 МПа,E = МПа, M = 40 , F = 80 кН, q = 20 кН/м, l = 4м, a = 1 м.
Решение
1. Определение реакций на опорах, анализ внутренних силовых факторов, подбор сечения.
, – M – F(a + l) – +
– 40 – ,
, – M –
= –40 –
Проверка:
Анализ внутренних силовых факторов, подбор сечения:
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов представлены на рис. 7.4, в, г.
Из условия прочности по нормальным напряжениям подбираем сечение:
,
По ГОСТ 8239–89 ближайший номер двутавра № 40 с =953 см3, = 19062 см2.
2. Выбор начала координат в левом краевом сечении, запись универсальных уравнений для последнего участка (рис. 7.4, б).
,
3. Определение начальных параметров ,
при
, т.е.
при
Окончательные уравнения имеют вид:
4. Определение углов поворотов и перемещений в различных сечениях.
,
,
,
По расчетным данным построены эпюры углов поворотов θ и перемещений v (рис. 7.4 д, е). Закономерности эпюр θ и v вытекают из дифференциальных зависимостей (7.7):
а) на участках, где = 0, касательная к кривой θ =f(z) параллельна оси абсцисс. Там, где на эпюре моментов скачок, на эпюре θ наблюдается излом;
б) если на протяжении какого-либо участка изгибающий момент равен нулю, то эпюра θ прямоугольна, а эпюра v выражена прямой наклонной линией;
в) на участках, где изгибающий момент постоянный, эпюра θ – прямая наклонная линия, эпюра v – парабола второго порядка;
г) вогнутость на криволинейных участках эпюры θ направлена в сторону эпюры Qy (рис. 7.4 в, д). Вогнутость на криволинейных участках эпюры v направлена в сторону изгибающего момента Mx (рис. 7.4 г, е);
д) в тех сечениях, где θ = 0, на эпюре v наблюдается аналитический максимум или минимум;
е) в сечениях балки, где есть промежуточные шарниры, на эпюре θ будут скачки, на эпюре v – изломы.
7.3. Определение перемещений методом Мора
Практическое применение метода начальных параметров, также как и непосредственное интегрирование дифференциального уравнения упругой линии для некоторых систем имеет сложности. В практике обычно возникает необходимость оценки перемещений в конкретных сечениях конструктивных элементов. Эту задачу успешно решил немецкий ученый Отто Христиан Мор в 1874 г. Метод Мора является универсальным методом определения линейных и угловых перемещений, возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки.
В большинстве случаев при определении перемещений в балках, рамах, в арках можно пренебречь влиянием продольных деформаций и деформаций от сдвига, учитывая лишь перемещения, вызываемые только изгибом и кручением. В этом случае для плоской системы интеграл Мора имеет вид
(7.10)
В случае пространственного нагружения
(7.11)
В случае растяжения или сжатия сохраняется лишь член, содержащий продольную силу:
(7.12)
Для системы, испытывающей только кручение,
(7.13)
В формулах (7.10)–(7.13) ,,– грузовые внутренние силовые факторы наi-м участке: соответственно изгибающий момент, продольная сила и крутящий момент от внешней нагрузки; ,,– единичные силовые факторы – соответственно изгибающий момент, продольная сила, крутящий момент наi-м участке от силы, равной единице, приложенной в том сечении, где необходимо найти линейное перемещение, или от момента, равного единице, приложенного в сечении определения углового перемещения; – длинаi-го участка; – модуль сдвига,– модуль продольной упругости,,,– площадь, момент инерции (при круглом сечении=где– полярный момент инерции),– осевой момент инерции сечения наi-м участке.
Методика определения перемещений методом Мора может быть сведена к следующим пунктам.
1. Определяют реакции на опорах, разбивают систему на участки, выбирают направление обхода участков, записывают выражения для грузовых силовых факторов на i-х участках: ,,.
2. Строят вспомогательную систему, которую нагружают единичной нагрузкой в точке, где необходимо определить перемещение. При определении линейного перемещения в заданном направлении прикладывают единичную силу, при определении углового перемещения – единичный момент.
3. Определяют реакции на опорах для вспомогательной системы и, соблюдая тот же обход участков, что и в грузовом состоянии, записывают на i-х участках ,,.
4. Вычисляют интегралы Мора по участкам в пределах всей системы. В соответствии с вышеуказанным при расчете плоских балок, рам и арок исходят из зависимости (7.10), при расчете ферм – из (7.12), при кручении – из (7.13).
5. Если искомое перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичной силы; если отрицательный знак – действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичной силы.