- •1. Основы теории случайных процессов
- •1.1. Семейства случайных величин
- •1.2. Выборочные функции
- •1.3. Теорема Колмогорова
- •1.4. Вещественный параметр. Дискретный случай
- •1.5. Вещественный параметр. Непрерывный случай
- •1.6. Пуассоновский процесс
- •1.7. Общие свойства случайных процессов
- •1.8. Примеры случайных процессов
- •2. Случайные потоки сообщений
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Принципы классификации входящих потоков
- •Определим p1() и p0():
- •Вероятность поступления k и более заявок определяется по формуле
- •2.6.1. Симметричный и примитивный потоки
- •2.6.2. Поток с повторными заявками
- •Вектор, обладающий свойствами (2.20) и (2.21), называется стохастическим. Если его компоненты представляют вероятности состояний системы, то вектор называется вектором состояний системы.
- •Матрица перехода имеет вид
- •2.12. Предельные теоремы для потоков событий
- •2.12.1. Предельная теорема для суммарного потока
- •2.12.2. Предельная теорема для редеющих потоков
- •3. Основы теории систем массового обслуживания
- •3.1. Элементы систем массового обслуживания
- •3.1.1. Виды распределения входящего потока и времени обслуживания
- •3.1.2. Дисциплина обслуживания заявок
- •3.1.3. Канал обслуживания
- •3.1.4. Выходящий поток
- •3.2. Классификация смо
- •3.3. Процессы гибели и размножения
- •3.4. Системы массового обслуживания с отказами
- •3.4.1. Классическая система массового обслуживания с отказами (система Эрланга)
- •Используя нормировочное условие
- •3.4.2. Системы массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью между каналами
- •3.4.3. Системы массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами
- •Для сокращения дальнейшей записи введем обозначение
- •Вероятность обслуживания заявки
- •3.4.4. Системы массового обслуживания с отказами и неоднородными потоками
- •3.4.5. Примеры систем массового обслуживания с отказами
- •Решение
- •Вероятность занятости канала
- •Решение
- •Решение
- •Среднее время полной загрузки
- •4. Системы массового обслуживания с ожиданием
- •4.1. Классическая система массового обслуживания с ожиданием
- •С ожиданием (смо с конечной очередью)
- •4.2. Векторная модель с конечной очередью и неоднородными запросами на число мест в очереди
- •4.3. Векторная модель с бесконечной очередью и однородными запросами на число мест в очереди
- •Подставляя сюда (4.10), будем иметь
- •Где коэффициент , с учетом (4.12), имеет вид
- •4.4. Примеры систем массового обслуживания с ожиданием
- •Вероятность обслуживания заявки для смо с отказами
- •Среднее число заявок в системе
- •5. Различные системы массового обслуживания
- •5.1. Система массового обслуживания с ожиданием и приоритетом в обслуживании
- •5.2. Векторная модель системы массового обслуживания с приоритетом
- •5.3. Замкнутая векторная смо с отказами в обслуживании
- •5.4. Исследование и оптимизация управляемой смо
- •5.5. Примеры специальных смо
- •Решение
- •Среднее число ожидающих обычного переговора
- •Оглавление
1.7. Общие свойства случайных процессов
Рассмотрим событие Е, происходящее в случайные моменты времени. Пусть N(s, t) обозначает их число в полуинтервале (s, t]. Вероятностную структуру N(s, t) определяют, как и в пуассоновском случае, возрастающие ступенчатые функции (t), которые будут задаваться на всей прямой – t + . Как и в пуассоновском случае, N(s, t) будет определяться соотношением N(s, t) = (t) – (s). Предположим, что для любого конечного числа непересекающихся интервалов (s1, t1], …, (sk, tk] заданы вероятности
P{N(s1, t1) = r1, …, N(sk, tk) = rk},
согласованные в том смысле, что
,
, s t < q, и т.п.
Так как рассматриваются полузамкнутые интервалы (s, t], то необходимо, чтобы функции вида Р{N(s, t) = r} были непрерывны справа по t. Эти вероятности определяют конечномерные распределения процесса (t) и, следовательно, вероятностную меру на функциональном пространстве Х. Так же как для пуассоновского процесса, построим эквивалентный вариант (t), реализации которого не убывают и в любом конечном интервале имеют не более конечного числа скачков. Эти скачки будут соответствовать появлениям событий рассматриваемого потока (читатель может провести это построение самостоятельно). В дальнейшем не будем обращать внимание на основной процесс (t), а будем рассматривать лишь случайные величины N(s, t).
Согласно работе [5] случайный процесс является стационарным, если для любого конечного числа интервалов (s1, t1], …, (sk, tk], любых чисел (целых) r1, …, rk и любого r > 0
Р{N(si + , ti + ) = ri, i = 1, …, k} = P{N(si, ti) = ri, i =1, …, k}.
Это и есть общие условия 1, сформулированные ранее для пуассоновского случая.
Стандартный процесс будет называться ординарным [2], если
Р{N(0, t) >1} = 0(t) при t 0.
Это уточнение условия 3 для пуассоновского процесса.
Рассмотрим следующую лемму, которая очень полезна при изучении свойств процессов.
Лемма 1. Пусть f (x) – вещественная неотрицательная и неубывающая функция в интервале 0 < x a и (x + y) (x) + (y), когда х, y, x + y (0, a). Тогда при х 0 отношение (x)/x стремится к некоторому пределу, быть может бесконечному. Этот предел равен нулю лишь при условии (a) = 0.
Положим (t) = Р{N(0, t) 1}. С помощью леммы можно доказать [5] существование такого неотрицательного , что
(t) ~ t при t 0. (1.4)
Действительно, (t), очевидно, не убывает по t. Далее, если в интервале (0, t1 + t2) произошло хотя бы одно событие, то, по крайней мере, в одном из интервалов (0, t1] и (t1, t1 + t2] тоже произошло хотя бы одно событие и, следовательно, (t1 + t2) (t1) + (t2), так что условия леммы выполнены. Таким образом, (t)/t стремится к некоторому пределу при t, откуда следует (1.4). Число в (1.4) называется интенсивностью стационарного процесса. Очевидно, всегда строго положительно, за исключением тривиального случая, когда ни одно из событий не происходит.
Приведенные выше рассуждения касаются стационарного процесса без требования ординарности. Если же стационарный процесс ординарен, то вероятность того, что два или более события произойдут одновременно хотя бы в одной точке, равна нулю. Действительно, разделим отрезок [0, 1] на m равных частей, тогда интересующая нас вероятность не превосходит mP{N(0, m-1) >1}, которая стремится к нулю при m . Обратное утверждение содержится в следующей лемме [2].
Лемма 2. Рассмотрим стационарный поток событий, для которого вероятность того, что хотя бы в одной точке отрезка 0 t 1 произойдут одновременно два или более события, равна нулю. Пусть = {N(0,1)} < . Тогда процесс ординарен.
Лемма доказана Добрушиным при условии = {N(0, 1)} < . Разумеется, это не исключает возможности существования ординарного потока c = +.
Из эвристических соображений ясно, что для стационарного регулярного (ординарного) процесса среднее число событий в единичном интервале и интенсивность процесса, определенная (1.4), совпадают. Доказательство этого, данное Хинчиным [5], опирается на следующую теорему.
Теорема. Рассмотрим стационарный регулярный процесс. Утверждается, что среднее число событий в единицу времени и интенсивность потока , определенная соотношением (1.4), совпадают. Случай = = + при этом не исключается.
Итак, мы рассмотрели основные общие свойства случайных процессов, которые нам понадобятся в последующих главах.