1.4. Вещественный параметр. Дискретный случай

На практике часто сталкиваются со случаем, когда наблюдения за случайно меняющейся системой производятся через равные промежутки времени. Взяв в качестве единицы времени промежуток между двумя последовательными измерениями, получим последовательность случайных величин, т.е. случайный процесс с целочисленным параметром.

Изменим прежние обозначения: параметр будем обозначать n вместо t, а случайную величину, наблюдаемую в момент n, будем обозначать _n или _n() вместо (t, ). Множество Т значений параметра будет состоять из всех рассматриваемых n; чаще всего Т будет множеством всех целых чисел n = ..., -1, 0, 1, ... или множеством всех положительных чисел n₁ = = 1, 2, ...

Последовательность случайных величин _n = _n(), n = 1, 2, ..., переводит каждую фиксированную точку  основного вероятностного пространства в некоторую точку  = (₁, ₂, ...) бесконечномерного пространства R^. Иными словами, выборочным пространством Х является пространство R^, состоящее из всех точек х = (х¹, х², ...) с бесконечным числом координат. Интервал в R^ представляет собой множество точек х, удовлетворяющих конечному числу неравенств вида a_j < x_j < b_j с теми же замечаниями о знаках неравенств, что и в общем случае (§ 1.3).

Предположим, что дана последовательность случайных величин _n= = _n(), n = 1, 2, ... . Тогда любое конечное множество величин _n, например , имеет совместное распределение вероятностей с функцией распределения

В силу первой части теоремы Колмогорова семейство всех функций F однозначно определяет вероятность того, что точка  = (₁, ...) принадлежит множеству В < R^ для любого борелевского В.

Пусть теперь дано лишь семейство {F} функций распределения F() с любыми k и n_i, удовлетворяющее условиям симметрии и согласованности. Вторая часть теоремы Колмогорова показывает, что это семейство однозначно определяет распределение вероятностей в классе борелевских множеств в R^.

Таким образом, в обоих случаях в R^ может быть построено некоторое распределение вероятностей, соответствующее бесконечной случайной последовательности  = (₁, ₂, ...). Вероятность того, что эта последовательность как точка в R^ будет принадлежать данному множеству А, однозначно определяется для любого борелевского А в R^.

Оказывается, что все множества в R^, которые могут быть определены с помощью обычных аналитических операций над _n, являются борелевскими. Это очень важный факт; он означает, что в случае дискретных последовательностей случайных величин все события, с которыми сталкиваются, имеют вполне определенные вероятности. В непрерывном случае ситуация далеко не так проста.

Пример 1.1. Рассмотрим три простых примера борелевских множеств в R^, определенных с помощью простых операций над последовательностью случайных величин ₁, ₂, ... Каждый из этих примеров существенен для различных приложений.

Пусть h – некоторое число. Обозначим А, В и С множества в R^, определенные следующими соотношениями:

А: sup _n  h,

В: lim _n = h,

С: lim _n – существует и конечен,

где n пробегает множество положительных чисел. Покажем, что каждое из этих множеств может быть получено из интервалов в R^ с помощью счетного числа операций, так что все они являются борелевскими. Для любых положительных целых чисел m, n и q обозначим через I_n, K_n,q и L_m,n,q, интервалы в R^, определенные неравенствами:

I_n: _n  h,

K_n,_q:  _n – h < ,

L_m,n,q:  _m – _n < .

Множества А, В и С могут быть построены из этих интервалов с помощью пересечений и объединений следующим образом:

,

,

.

Отсюда следует, что множества А, В, С являются борелевскими.