- •1. Основы теории случайных процессов
- •1.1. Семейства случайных величин
- •1.2. Выборочные функции
- •1.3. Теорема Колмогорова
- •1.4. Вещественный параметр. Дискретный случай
- •1.5. Вещественный параметр. Непрерывный случай
- •1.6. Пуассоновский процесс
- •1.7. Общие свойства случайных процессов
- •1.8. Примеры случайных процессов
- •2. Случайные потоки сообщений
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Принципы классификации входящих потоков
- •Определим p1() и p0():
- •Вероятность поступления k и более заявок определяется по формуле
- •2.6.1. Симметричный и примитивный потоки
- •2.6.2. Поток с повторными заявками
- •Вектор, обладающий свойствами (2.20) и (2.21), называется стохастическим. Если его компоненты представляют вероятности состояний системы, то вектор называется вектором состояний системы.
- •Матрица перехода имеет вид
- •2.12. Предельные теоремы для потоков событий
- •2.12.1. Предельная теорема для суммарного потока
- •2.12.2. Предельная теорема для редеющих потоков
- •3. Основы теории систем массового обслуживания
- •3.1. Элементы систем массового обслуживания
- •3.1.1. Виды распределения входящего потока и времени обслуживания
- •3.1.2. Дисциплина обслуживания заявок
- •3.1.3. Канал обслуживания
- •3.1.4. Выходящий поток
- •3.2. Классификация смо
- •3.3. Процессы гибели и размножения
- •3.4. Системы массового обслуживания с отказами
- •3.4.1. Классическая система массового обслуживания с отказами (система Эрланга)
- •Используя нормировочное условие
- •3.4.2. Системы массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью между каналами
- •3.4.3. Системы массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами
- •Для сокращения дальнейшей записи введем обозначение
- •Вероятность обслуживания заявки
- •3.4.4. Системы массового обслуживания с отказами и неоднородными потоками
- •3.4.5. Примеры систем массового обслуживания с отказами
- •Решение
- •Вероятность занятости канала
- •Решение
- •Решение
- •Среднее время полной загрузки
- •4. Системы массового обслуживания с ожиданием
- •4.1. Классическая система массового обслуживания с ожиданием
- •С ожиданием (смо с конечной очередью)
- •4.2. Векторная модель с конечной очередью и неоднородными запросами на число мест в очереди
- •4.3. Векторная модель с бесконечной очередью и однородными запросами на число мест в очереди
- •Подставляя сюда (4.10), будем иметь
- •Где коэффициент , с учетом (4.12), имеет вид
- •4.4. Примеры систем массового обслуживания с ожиданием
- •Вероятность обслуживания заявки для смо с отказами
- •Среднее число заявок в системе
- •5. Различные системы массового обслуживания
- •5.1. Система массового обслуживания с ожиданием и приоритетом в обслуживании
- •5.2. Векторная модель системы массового обслуживания с приоритетом
- •5.3. Замкнутая векторная смо с отказами в обслуживании
- •5.4. Исследование и оптимизация управляемой смо
- •5.5. Примеры специальных смо
- •Решение
- •Среднее число ожидающих обычного переговора
- •Оглавление
4.3. Векторная модель с бесконечной очередью и однородными запросами на число мест в очереди
Постановка задачи. Ранее рассмотрена СМО с конечной очередью и неоднородными запросами на число мест в очереди. При этом, как отмечено, главная сложность применения ВМО – высокая размерность модели, что для реальных значений параметров технических систем исключает возможность ее применения. Поэтому весьма актуальной является задача построения СМО, которая позволяла бы вести расчет вероятностных характеристик, ориентируясь на потребности проектировщиков. Для решения этой задачи введем ряд упрощений: во-первых, запросы на число мест в очереди однородны (это означает, что любая заявка требует, при занятости обслуживающих приборов, фиксированное (постоянное) число мест в очереди); во-вторых, длина очереди бесконечна (т.е. имеется буфер бесконечной длины).
Оригинальная СМО с учетом приведенных ограничений – это N-линейная СМО с буфером, на вход которой поступает простейший с параметром поток заявок. Каждая заявка для своего обслуживания с вероятностью q(m) требует m приборов. Если буфер свободен, а в системе имеется достаточное число свободных приборов, то заявка немедленно начинает свое обслуживание, занимая требуемое число m приборов. Если в системе недостаточно свободных приборов для обслуживания поступившей заявки, то она становится в очередь для ожидания. Если в буфере имеются заявки, то поступившая заявка также становится в очередь.
Времена обслуживания приборами независимы и одинаково распределены как для одной, так и для разных заявок. Будем считать, что время обслуживания экспоненциальное с параметром .
Для исследования указанной СМО рассмотрим случайный процесс . Здесьi(t) – число заявок в очереди, k(t) – число свободных приборов, m(t) – число приборов, требуемых заявкой, которая в момент t стоит первой в очереди. Если i(t) = 0, то компонент m(t) не формируется, а функционирование СМО определяется единственным компонентом h(t) – числом занятых приборов.
В силу того, что информация о числе приборов, требуемых для обслуживания заявки, стоящей в очереди, не используется до того момента, пока эта заявка не станет первой в очереди, а числа требуемых приборов для различных заявок независимы, рассматриваемый случайный процесс является марковским. Для его стационарных вероятностей
(4.6)
можно построить следующую систему уравнений:
(4.7)
здесь , 0 <m < N + 1, 0 < k < m.
Для существования стационарных вероятностей (4.6) необходимо ограничить загрузку некоторой величиной S, значение которой определим ниже.
Для решения (4.7) воспользуемся методом [11], для этого введем положительный малый параметр 0, значение которого также определим ниже, и в (4.7) сделаем замену:
i x, 1/P(i, k, m) = (x, k, m) . (4.8)
Тогда для системы (4.8) получим
0 < k < m.
Раскладывая функции П(х k m, ) в ряд по степеням в окрестности точки (x, k, m, ) и ограничиваясь слагаемыми порядка 2, получим систему:
, (4.9)
Систему (4.9) будем решать в три этапа при . Метод асимптотического анализа [11] полагает, что при величина загрузки сходится к своему предельному значению S. Здесь S – точная верхняя граница тех значений загрузки , при которых рассматриваемая система имеет стационарный режим.
Этап 1. В системе (4.9) положим = 0 и, обозначив (x, km, 0) = (x, k, m), получим однородную систему алгебраических уравнений:
решение которой определяется с точностью до величины f(x), постоянной по k и m, в виде .
Этап 2. Найдем решение системы (4.9) с помощью в виде
(4.10)
Подставив (4.10) в (4.9) и положив = S, получим для (k) неоднородную систему линейных алгебраических уравнений:
(4.11)
Из второго уравнения (4.11) для k 1 можно записать
(4.12)
Чтобы (4.12) было решением системы (4.11), необходимо выполнение равенства
которое получается при подстановке (4.12) в первое уравнение системы (4.11) и определяет значение величины
(4.13)
Величина S, являясь пропускной способностью СМО, определяет одну из самых основных характеристик системы, ограничивая предельную загрузку, позволяя функционировать ей в стационарном режиме.
Этап 3. Для нахождения величины f(x) просуммируем по k и m все уравнения (4.9) и получим равенство