Подставляя сюда (4.10), будем иметь
(4.14)
Полагая
, (4.14а)
из (4.14) получим для неизвестной f(x) обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
,
Где коэффициент , с учетом (4.12), имеет вид
(4.15)
Здесь S определяется равенством (4.13), а f(x), следовательно, имеет экспоненциальный вид:
.
Таким
образом, асимптотическое распределение
(x,
k,
m)
вектора
,
где
определяется равенством (4.14а), с учетом
решения первого этапа имеет вид
. (4.16)
Константа С определяется условием нормировки:
,
и имеет вид
здесь определяется равенством (4.15).
Распределение (4.16) решает задачу исследования математической модели СМО с буфером бесконечной длины и позволяет находить основные вероятностные характеристики. Рассмотрим нахождение некоторых из них:
1. Распределение числа свободных приборов (обслуживающих)
2. Предельное значение коэффициента загрузки приборов
3.
Асимптотическое распределение числа
заявок в очереди (экспоненциальное
распределение) с плотностью (4.15), имеет
смысл среднего значения. Поэтому среднее
число заявок в буфере
.
4.
Средняя величина задержки (время очереди)
в буфере определяется по формуле Литтла:
5. Пропускная способность S СМО с буфером определяется равенством (4.13).
Аналогично можно определить и другие вероятностные характеристики СМО с буфером.
Таким образом, выше рассмотрена и построена векторная СМО с бесконечной очередью и однородными запросами на число мест в очереди. Получены явные выражения для расчета основных вероятностных характеристик СМО с буфером.
4.4. Примеры систем массового обслуживания с ожиданием
Пример 4.1. Показать, что для любого m > 0 и любых параметров (n, ) СМО с ожиданием имеет большую пропускную способность, чем СМО с отказами и с теми же параметрами (n, ).
Решение
Вероятность обслуживания заявки для смо с отказами
Вероятность обслуживания заявки для СМО с ожиданием
Рассмотрим
первоначально случай, когда
= 1 (
= n),
и покажем, что
.
В этом случае разность вероятностей
так как знаменатель первой дроби в квадратной скобке меньше знаменателя второй дроби.
Рассмотрим общий случай, когда 1:
Разность будет положительной, если положительным является числитель последней формулы; покажем, что он положительный:
Отношение
положительно при любом значении.
Покажем, что разность, стоящая в квадратных
скобках, тоже положительна:
т.к. каждый член суммы неотрицателен (k n).
Таким образом, показали, что при одинаковых параметрах (n, ) система с ожиданием имеет большую пропускную способность, чем система с отказами. Это достигается за счет увеличения времени нахождения заявки в системе, т.е. за счет того, что заявка будет ожидать в очереди.
Пример 4.2. Рассматривается СМО с ожиданием и частичной взаимопомощью, когда каналы могут помогать друг другу, объединяясь в группы, наибольший состав которых равен l < n. При занятии всех каналов очередная пришедшая заявка не получает отказ, а может стать в очередь, число мест в которой равно m. Составить размеченный граф состояний системы и найти основные характеристики работы такой системы.
Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 4.3.
Рис. 4.3. Граф состояний СМО с частичной взаимопомощью и конечной очередью
На
этом графе величина h
равна целой части отношения
.
Этот граф с точностью до обозначений
совпадает с графом состояний СМО с
частичной взаимопомощью (глава 3) или
системы массового обслуживания с
ожиданием (§ 4.1). Следовательно,
(i
= 0, 1, …, h),
Pj = j Ph (j = h, h + 1, …n + m),
где
.
Для краткости рассмотрим только случай . Вероятность обслуживания
Среднее
число занятых каналов
.
Среднее число заявок, находящихся в очереди:
