2.6.1. Симметричный и примитивный потоки

Симметричным потоком называется поток с простым последействием, параметр которого λ_S (t) в любой момент времени t зависит только от числа i обслуживаемых в этот момент заявок и не зависит от других характеристик, определяющих состояние S(t) системы. При этом зависимость параметра от числа обслуживаемых заявок может быть подчинена любому закону. Поэтому в любом состоянии S(t) с i обслуживаемыми заявками параметр симметричного потока один и тот же, он зависит только от i, т.е. λ_S (t) = λ_i.

Примитивным называется такой симметричный поток, параметр которого λ_i прямо пропорционален числу свободных в данный момент источников заявок.

λ_i = (n – i), (2.16)

где n – число источников заявок; i – число занятых источников;  – параметр потока источника в свободном состоянии (при этом имеет место естественное предположение – занятый источник не может производить заявки). В модели примитивного потока параметр источника  в свободном состоянии является постоянной величиной, а параметр примитивного источника λ_i убывает с увеличением числа занятых источников i. Математическое ожидание параметра примитивного λ определяется по формуле

,

где Р_i – вероятность того, что в системе занято i источников. Заметим, что обслуживающей примитивный поток системе не требуется более n обслуживающий устройств, т.е. занятый источник не может производить заявки.

Можно показать, что функция распределения вероятности длительности свободного состояния источника (промежуток времени между моментом окончания одного занятия и моментом поступления новой заявки)

.

Таким образом, промежуток времени между моментами окончания одного занятия и поступления от источника новой заявки распределен по показательному закону. Следовательно, поток заявок от свободного источника является простейшим.

Поток с простым последействием является более общим по сравнению с простейшим потоком заявок. Простейший поток можно считать частным случаем потока с простым последействием, в том числе симметричного и примитивного потоков. С увеличением числа источников n и уменьшением параметра  последействие потока уменьшается. В предельном случае при n   и   0 так, что n есть конечная величина и i принимает ограниченные значения, параметр потока  = n не зависит от состояния системы, т.е. модель примитивного потока не переходит в модель простейшего потока заявок.

2.6.2. Поток с повторными заявками

Система, в которую поступает поток заявок, обслуживает не все поступившие заявки. Часть из них не обслуживается (теряется) по ряду причин. Например, телефонными сетями часть заявок не обслуживается по причине занятости или неответа вызываемого абонента, ошибок вызывающего абонента в наборе номера, несоединения абонента коммутационной системой по техническим причинам. Все источники необслуженных заявок или их часть осуществляют повторные заявки.

Поток с повторными заявками состоит из первичных и повторных заявок. Поскольку параметр потока повторных заявок зависит от состояния системы, то и поток с повторными заявками относится к классу потоков с простым последействием.

Параметр потока повторных заявок можно определить как произведение числа источников повторных заявок j на параметр одного источника . В качестве модели потока первичных заявок принимается простейший с параметром  или примитивный _i поток. Параметр суммарного потока равен сумме параметров потоков первичных и повторных заявок. Для простейшего и примитивного потоков он соответственно составляет

_ =  + j, _ = (n – i – j) + j.

2.7. Поток с ограниченным поступлением. Поток Пальма

Под потоком с ограниченным последействием понимается поток заявок, у которого последовательность промежутков времени между заявками z₁, z₂, … представляет последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих любые функции распределения. Такой поток заявок описывается последовательностью функций распределения промежутков между заявками:

F_k(z) = P(Z_k < z), k = 1, 2, …

Как следует из приведенного определения потока с ограниченным последействием, свойство ограниченности последействия заключается в независимости промежутков времени между заявками. Введенное ранее понятие «отсутствие последействия» потока означает независимость количества заявок, поступающих в непересекающиеся отрезки времени. Таким образом, свойства «ограниченность последействия» и «отсутствие последействия» являются различными характеристиками потока.

Частным случаем потока с ограниченным последействием является рекуррентный поток, который характеризуется одинаково распределенными промежутками времени между заявками:

F₁(z) = F₂(z) = … = F(z).

Некоторым обобщением рекуррентного потока является рекуррентный поток с запаздыванием – поток с ограниченным последействием, для которого

F₂(z) = F₃(z) = … = F(z), F₁(z)  F(z).

Стационарный ординарный рекуррентный поток с запаздыванием называется потоком Пальма. Для потока Пальма, как и для любого другого стационарного ординарного потока,  =  = 1/M(z). Распределение промежутков времени между заявками для потока Пальма задается следующими соотношениями:

,

,

где ₀(z) – вероятность отсутствия заявок в промежуток времени длиной z.

Весьма важной является следующая теорема Пальма: если на систему обслуживания с потерями и с показательным распределением длительности обслуживания поступают заявки, образующие поток Пальма, то поток необслуженных заявок также является потоком Пальма. В частности, если поток поступающих заявок будет простейшим, то поток потерянных заявок будет потоком Пальма. Это справедливо и для потоков, теряемых каждой линией полнодоступного пучка, работающего в режиме упорядоченного искания: если на первую линию поступает поток Пальма, или простейший поток заявок, то поток заявок, потерянных любым количеством первых линий пучка, будет потоком Пальма.

Простейший поток является частным случаем потока Пальма, у которого все промежутки времени между заявками, включая первый, распределены по показательному закону.

Рекуррентный поток без запаздывания является ординарным потоком. Рекуррентные потоки с запаздыванием могут быть и неординарными. Доказано, что стационарный рекуррентный поток является простейшим.

2.8. Просеивание потоков. Потоки Эрланга

Пусть имеется поток заявок, для которого t₁, t₂, … есть моменты поступления заявок. Выберем из этого потока часть заявок, применив следующую операцию: заявка, поступающая в момент t_k (k = 1, 2, …), с вероятностью  остается в новом потоке и с вероятностью (1– ) теряется. Новый поток заявок называется просеянным. Таким образом, просеянный поток образуется из заданного потока, в котором случайное число заявок теряется, следующая заявка остается (просеивается), затем снова случайное число заявок, имеющих тот же закон распределения, теряется, следующая заявка заданного потока остается и т.д. Операция, с помощью которой получен просеянный поток, называется рекуррентной операцией просеивания. Поток, полученный из рекуррентного потока с помощью рекуррентной операции просеивания, также является рекуррентным.

Если основной поток – простейший с параметром  и каждая заявка этого потока просеивается с вероятностью  и теряется с вероятностью (1 – ), то просеянный поток будет также простейшим с параметром . Из этого следует весьма важный для практики вывод: если поступающий на систему обслуживания простейший поток с параметром  разделяется на h направлений и вероятность того, что вызов входящего потока поступает на i – е (i = 1, 2, …, h) направление, равна _i, то поток i-го направления является также простейшим с параметром _i.

Используем отличную от рекуррентной операцию просеивания, при которой точно m заявок потока теряются, (m + 1)-я заявка просеивается, затем снова точно m заявок теряются, (m + 1)-я заявка просеивается и т.д. В результате такой операции просеивании простейшего потока образуется так называемый поток Эрланга m-го порядка. Если в простейшем потоке сохранить (просеять) каждую третью заявку, то образуется поток Эрланга 2-го порядка, каждую вторую заявку – поток Эрланга 1-го порядка. Естественно, простейший поток можно рассматривать как поток Эрланга нулевого порядка.

В потоках Эрланга любого порядка промежутки времени между заявками независимы и распределены по одному и тому же закону, так как эти промежутки представляют сумму одинакового числа промежутков простейшего потока. В связи с этим потоки Эрланга являются рекуррентными.

Математическое ожидание M(z_m), дисперсия D(z_m) и среднее квадратическое отклонение (z_m) промежутка времени между заявками в потоке Эрланга m-го порядка можно записать следующим образом:

, (2.17)

а параметр этого потока

_m = /(m + 1). (2.18)

Из (2.17) и (2.18) следует, что с увеличение порядка Эрланга увеличивается математическое ожидание и дисперсия промежутка времени между заявками и одновременно уменьшается параметр потока. Потоки Эрланга m-го порядка при разных m создают потоки с различной степенью случайности: от простейшего (m = 0) до детерминированного (m = ).

2.9. Неоднородный входящий поток

Как уже отмечалось, в неоднородном потоке каждая заявка имеет две и более характеристики. Рассмотрим модели неоднородных потоков, когда в качестве второй характеристики используются требования входящей заявки на число обслуживающих приборов.

Входной поток представим как композицию пуассоновских однородных потоков, каждый из которых требует для своего обслуживания определенное (фиксированное) число обслуживающих приборов. При этом число однородных пуассоновских потоков L = q_max – q_min + 1, а интенсивность каждого m-го потока (m  L) _m = P(m) _, где q_max и q_min – максимальное и минимальное значение обслуживающих приборов, требуемых заявками; P(m) – вероятность запроса m обслуживающих приборов (для общности получаемых результатов распределение запросов будем полагать произвольным, а в качестве примера рассмотрим равномерное распределение, т.е. P(m) = P(k) = 1/(q_max – q_min+ 1), k, m  L [11]).

Рассмотрим предлагаемую модель. Пусть k – количество потоков заявок, а n – количество источников, которые являются неоднородными, причем i-й источник участвует в образовании M_i потоков (i  ). Входной поток_ может быть описан следующим образом (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Число источников	Число каналов
	qmin	…	qi	…	qmax(k)		N
1	λ11	…	λ1i	…	λ1k		N1
…	…	…	…	…	…		…
i	λi1	…	λii	…	λik		Ni
…	…	…	…	…	…		…
k	λk1	…	λki	…	λkk		Nk

Здесь _ij – константы, определяющие интенсивность в i-м потоке с требованиями на j каналов; N_i – количество источников заявок в потоке i-го типа.

Некоторые _ij = 0, но в строке i должно быть M_i ненулевых компонентов. Модель такого типа называется мультивекторной [11].

Ниже приводится матричная [12] модель неоднородного входного потока с более наглядной формой задания, эквивалентная мультивекторной модели. Рассмотрим особенности матричной модели неоднородного потока заявок. Этот поток формируется n неодинаковыми и неоднородными источниками, каждый из которых с интенсивностью _ji генерирует i-за-явки, 1  i  k. Неоднородный поток матричной модели характеризуется матрицей

Здесь при 1  j  n, 1  i  k, _ji – интенсивность потока i-заявок от j-го источника.

Если в матричной модели n = N₁ + N₂ + … + N_k, а в мультивекторной модели строки с номерами 1 … N₁ одинаковы и совпадают с вектором , строки с номерами 1 …N₂ одинаковы и совпадают с вектором , и т.д., то матричная модель порождает мультивекторную модель неоднородного потока. Верно и обратное утверждение. Если в мультивекторной моделиk = = n, а все N_j = 1, то мультивекторная модель порождает матричную, т.е. эти две модели эквивалентны.

Рассмотренные модели неоднородных входных потоков обеспечивают описание реальных процессов в аналого-цифровых преобразователях (АЦП), системах телекоммуникаций, информационно-измерительных системах (ИИС), автоматических системах управления технологическими процессами (АСУТП), автоматических системах научных исследований (АСНИ), системах автоматизации испытаний (САИ). Мультивекторные и матричные модели представляют обобщенное описание неоднородных потоков, инвариантное к областям применения. Очевидное достоинство матричной модели – это простота ее описания и исследования. А достоинством мультивекторной модели является явное использование ею специфики матрицы, когда в ней встречается много совпадающих строк, что существенно понижает размерность множества состояний соответствующих СМО.

2.10. Примеры решения задач

Пример 2.1. Моменты прибытия вагонов метро на остановку образуют поток, приближенно являющийся потоком Пальма, причем интервал T между поездами подчинен закону равномерной плотности с характеристиками m_t = 2 мин, _t = 0,05 мин. Определить вероятность p того, что время ожидания пассажиром очередного поезда не привысит 1,5 мин, если пассажир приходит на станцию, не зная расписания движения поездов.

Решение

Плотность распределения времени ожидания  определяется следующей формулой:

,

где F() – функция распределения случайной величины Т, которая имеет вид

Величины a и b находим из условия

откуда а = 1,91; b = 2,09.

Следовательно,

.

Пример 2.2. Производится воздушная разведка подвижной цели. Установлено, что время пребывания цели на одном месте подчинено следующему показательному закону:

где величины а и  положительны, а 1(х) – известная единичная функция.

Кривая распределения имеет вид, показанный на рис. 2.1. Удар по разведанной цели может быть произведен лишь по истечении времени t₁ после обнаружения цели разведчиком. Определить вероятность того, что к моменту нанесения удара t₁ цель останется на месте ее обнаружения разведчиком, если противник не имеет сведений о действиях разведчика.

Рис. 2.1. Функция распределения к примеру 2.2

Решение

Условия задачи не изменятся, если считать, что цель на каждом месте находится случайное время Т, имеющее плотность распределения f(t). Таким образом, можно рассматривать некоторый стационарный поток Пальма с интервалом Т между соседними событиями, который условно можно назвать потоком уходов цели с места ее обнаружения.

Обнаружение цели можно рассматривать как падение случайной точки S на некоторый интервал этого потока. Следовательно, время пребывания цели на месте ее обнаружения  будет иметь плотность распределения

,

где .

Искомую вероятность найдем из условия

График этой функции представлен на рис. 2.2.

Рис. 2.2. График искомой вероятности

2.11. Цепи Маркова

Рассмотрим систему, которая может находиться в состояниях E_n (n = = 0, 1, 2, 3, …), причем изменения этих состояний могут происходить только в определенные моменты 0, 1, 2, …, i. Пусть P_n(i) обозначает вероятность состояния E_n в момент i. Совокупность вероятностей P_n(i), соответствующая некоторому моменту i, может быть представлена вектором в пространстве с числом измерений, равным числу возможных состояний системы (конечному или бесконечному). Этот вектор ограничен по величине и направлению условием, что все его компоненты не отрицательны и в сумме равны 1:

P(i) = (P₀(i), P₁(i), P₂(i), …), (2.19)

0  P_n(i)  1, n = 0, 1, 2, … (2.20)

(2.21)