127

1. Основы теории случайных процессов

В практике научных исследований и технических разработок случайные процессы в настоящее время занимают столь большое место, что без создания эффективных методов их описания и изучения нельзя говорить о дальнейшем научно-техническом прогрессе.

Дать формальное определение случайного процесса, сочетающее в себе физическую сущность и математическую строгость, чрезвычайно трудно. Интуитивные представления о случайном процессе связаны в основном с непредсказуемостью его мгновенных значений. Математически строгое определение требует введения понятия ансамбля, т.е. бесконечной совокупности реализаций. С физической точки зрения вполне допустимо представление случайного процесса одной реализацией. С математической точки зрения отдельная реализация является детерминированной функцией времени, с помощью которой определить статистические свойства процесса можно лишь при выполнении определенных условий.

Выбор целесообразного уровня строгости описания случайных процессов при решении прикладных задач в значительной степени определяет качество получаемых результатов [1]. Вместе с тем уровень строгости описания должен соответствовать уровню представлений и характеру решаемых задач.

1.1. Семейства случайных величин

С точки зрения практических приложений [2] любая меняющаяся система, находящаяся под влиянием случайных факторов, представляет собой случайный процесс. В соответствии со сказанным случайный процесс может быть охарактеризован как процесс, мгновенное значение которого в произвольный момент времени представляет собой случайную величину [1].

Рассмотрим простой случай, когда состояние системы достаточно хорошо определяется одной количественной характеристикой. Эта величина (t) в каждый фиксированный момент t не является однозначно определенной, как в случае детерминированных систем, а зависит от случайных факторов, которые влияли на систему до момента t. При построении математической модели этого процесса естественно рассматривать (t) в каждый фиксированный момент t как случайную величину, определенную на некотором вероятностном пространстве (, F, P). Когда t меняется в рассматриваемом промежутке времени, получаем семейство случайных величин (t), зависящих от параметра t и определенных на одном и том же вероятностном пространстве. Элементарными событиями  в этом вероятностном пространстве будут возможные исходы случайного эксперимента, который определяет поведение системы в целом.

Пусть (, F, Р) – некоторое вероятностное пространство, T – множество значений параметра. Случайным процессом называется конечная вещественная функция (t, ), которая при каждом фиксированном t  T является измеримой функцией от   .

Легко получить обобщенную форму этого определения в случае, когда для полного описания состояния системы при каждом фиксированном значении параметра t необходимо знать несколько величин ₁(t), ..., _n(t). Если рассматривать _j(t) как компоненты случайного вектора (t, ) = = {₁(t, ), ..., _n(t, )}, то семейство случайных векторов, получающееся при изменении t на множестве Т, будет определять векторный случайный процесс.

Итак, (t) – случайный процесс. При каждом фиксированном t = t₁ случайная величина (t₁) = (t₁, ) имеет определенное распределение вероятностей, функцию распределения которой обозначим F(x, t₁) = P{(t₁)   x}.

Пусть t₁, ..., t_n – произвольное конечное множество значений t. Соответствующие случайные величины (t₁), ..., (t_n) имеют совместную функцию распределения

F(х₁, ..., х_n, t₁, ..., t_n) = Р{(t₁)  х₁, ..., (t_n)  x_n}.

Семейство таких совместных распределений для n = 1, 2, ... и всех возможных значений t_j называется семейством конечномерных распределений процесса (t). Это одно из основных понятий теории, и многие существенные свойства случайного процесса определяются свойствами семейства его конечномерных распределений. Конечномерные распределения случайного процесса должны удовлетворять условиям симметрии и согласованности.

Условие симметрии требует, чтобы n-мерные функции распределения, введенные выше, были симметричными по всем параметрам (х_j, t_j), т.е. чтобы эти функции распределения не менялись при одновременной перестановке х_j и t_j.

Условие согласованности выражается соотношением

= F(x_j, ..., x_n-1; t₁, ..., t_n-1),

которое следует из очевидного факта:  – множество, определенное неравенствами

(t₁)  x₁, ..., (t_n-1)  x_n-1, (t_n)  x_n,

при x_n   приближается к множеству

{, (t1)  x1, ..., (tn-1)  xn-1}.

Два случайных процесса (t) и (t) называются эквивалентными, если при каждом фиксированном t множества значений параметра (t) и (t) являются эквивалентными случайными величинами, так что (t) = (t) с вероятностью единица. Очевидно, семейства конечномерных распределений у эквивалентных процессов совпадают.